Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
2*
20
Глава I. Пять групп аксиом.
§ 8.
Группа аксиом V: аксиомы непрерывности.
V і. (Аксиома измерения или аксиома Архимеда). Пусть (черт. 13) A1 есть произвольная точка на прямой между произвольно данными точками А и В; строим затем точки
A A1 A1 A3 A. An., BAn
Черт. 13.
А,„ А.Л, .I4, .... так, что точка A1 лежит между А и A2, A9 между A1 и As, A3 между A2 и A1 и т. д., и сверх того отрезки:
-4--lj, -4j-4.2, А.,А.А, -43-44,.....
равны между собою: тогда в ряду точек A2, Аг, A4, . . . всегда существует такая точка An, что точка В лежит между An Ак.
V 2. (Аксиома полноты). Элементы (точки, прямые, плоскости) геометрии образуют систему вещей, которая, при условии сохранения всех указанных выше аксиом, не допускает никакого расширения, т. е. к системе точек, прямых, плоскостей невозможно присоединить другую систему вещей так, чтоб в новой расширенной системе были попрежнему удовлетворены вместе все аксиомы I—IV, V і
Аксиома Архимеда V і есть линейная аксиома. Относительно аксиомы полноты V 2, я присоединяю следующие замечания.
Сохранение всех аксиом, о котором идет речь в этой аксиоме, нужно понимать так, что после расширения все предыдущие аксиомы удовлетворяются как и раньше, т. е. существующие между элементами отношения, именно существующий порядок их и конгруэнтность отрезков и углов, нисколько не нарушаются; так, напр., точка, которая до расширения лежит между двумя точками, лежит между ними и после расширения; отрезки и углы взаимно конгруэнтные раньше, остаются таковыми и после расширения.
§ 8. Аксиомы непрерывности.
21
Выполнимость аксиомы полноты существенно обусловливается предварительным установлением аксиомы Архимеда; действительно можно показать, что к системе точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих аксиомам I— IV, можно всегда разнообразными способами присоединить новые элементы таким образом, что в расширенной системе все же останутся в силе все аксиомы I—IV; это значит—аксиома полноты привела бы к противоречию, если бы к аксиомам I — IV не была еще присоединена аксиома Архимеда14).
Аксиома полноты не есть следствие аксиомы Архимеда. Действительно, аксиома Архимеда одна не достаточна для того, чтобы с помощью аксиом I—IV доказать тождество нашей геометрии с обыкновенного аналитическою „Декартовою" геометриею (ср. § 9 и § 12). Напротив, присоединение аксиомы полноты,—хотя она и не содержит непосредственно никакого утверждения, касающегося понятия сходимости,—дает возможность доказать существование предела, соответствующего сечению Дедекинда, и теорему Больцано о существовании точек уплотнения, чем и доказывается тождественность нашей геометрии с геометриею Декарта.
Мы видим таким образом, что требование непрерывности разлагается на две существенно различные составные части, а именно — на аксиому Архимеда, которая подготовляет требование непрерывности, и на аксиому полноты, которая составляет завершение всей системы аксиом'5).
В нижеследующих исследованиях мы опираемся, по существу, только на аксиому Архимеда и в общем не предполагаем аксиомы полноты. •
*) Ср. также замечания в конце § 17, равно как и мой доклад относительно понятия числа [Berichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1900; перепечатан как VI прибавление к немецкому изданию настоящего сочинения!. — При исследовании теоремы о равенсгве углов при основании в равнобедренном треугольнике я ввел другую аксиому непрерывности, которую назвал аксиомою соседства; смотри мою статью .Uber den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck" [Proceedings ol the London Mathematical Society, Bd. XXXV, 1903, ср. стр. 92 и стр. 107; перепечатана как II прибавление к немецкому изданию настоящего сочинения].
Глава II.
Взаимная непротиворечивость и независимость
аксиом. .
Взаимная непротиворечивость аксиом.
Аксиомы пяти групп, выставленных в главе I, не находятся в* противоречии между собою, т. е. невозможно вывести из них путем логических умозаключений такое положение, которое противоречило бы одной из выставленных аксиом. Чтобы убедиться в этом, мы образуем из вещественных чисел систему вещей, по отношению к которой вжполняются одновременно все аксиомы
і
пяти групп.
Рассмотрим прежде вс.его область І1 всех алгебраических чисел, получающихся, если мы исходим из-1 и применяем конечное число раз четыре операции счета—сложение, вычитание, умножение, деле, ние и пятую операцию |/1-{-*»#2причем го всегда обозначает число, полученное уже с помощью этих пяти операций.
Будем рассматривать пару чисел (у, у) области U как точку, и отношение каких-либо трех чисел (и: v : ic) из области Q, если и, о не нули одновременно, как прямую; далее пусть существование уравнения
их -А-су ¦^j- w = О
выражает, что точка (х, у) лежит на прямой (и: г: wy, тогда, как легко видеть, удовлетворяются аксиомы Ґ і—3 и IV. Все числа области Q суть числа вещественные; так как они могут быть расположены в порядке по своей величине, то мы« можем легко найти
