Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
"Мы говорим также короче: каждый угол может быть однозначно определенным образом отложен в данной плоскости по данную сторону при данном луче.
Пояснение. Пусть дан треугольник ABC.; обозначаем оба луча, выходящие из точки А и проходящие через точки В и С, буквами Ji її J: Угол JL (Ji, /) называется тогца углом треугольника, заключенным между сторонами AB и AC или противолежащим стороне ВС; он заключает в своей внутренней области все внутренние точки треугольника ABC и обозначается JL ВАС или JL А.
III 5. Если для двух треугольников ABC и А'В'С имеют .wсто конгруэнции;
AB=A1B', AC= А'С, JLBAC= JL В'А'(У, то всегда имеют место и конгруэнции:
JL ABC=JLAВ''С, JL ACB = JLA'CB'.
Аксиомы III 1—3 содержат положения, касающиеся лишь конгруэнтности отрезков; они могут быть поэтому названы линейными аксиомами группы III. Аксиома III 4 содержит положения, касающиеся конгруэнтности углов. Аксиома III 5 связывает понятия о конгруэнтности отрезков и углов. Аксиомы III 4—5 содержат положения, касающиеся элементов плоской геометрии, и могут быть поэтому названы плоскостными аксиомами группы III.
§ 6.
Следствия из аксиом конгруэнтности.
Пояснение. Пусть отрезок AB конгруэнтен отрезку А'В' так как по аксиоме III 1 и отрезок AB конгруэнтен AB, то по аксиоме III 2 А'В' тоже конгруэнтен AB; мы называем оба отрезка AB и А'В' взаимно конгруэнтными. *
Пояснение. Если А, В, С, I), ... , К, L на плоскости о и А', В', С, I)', . .. , К', L' на плоскости а' суть два ряда таких точек, что все соответственные отрезки AB и А'В', AC и А'С, ВС
12
Глава I. Пять групп аксиом.
и Л'С.....EL и К'Ъ' конгруэнтны между собой, оба эти ряда
точек называются взаимно конгруэнтными; А и А', В и />',..., LaL называются соответственнычн точками конгруэнтных точечных рядов.
Из линейных аксиом III і_3 мы легко выводим следующие
тесремы:
Теорема 9. Если в двух конгруэнтных рядах точек А, В,..., К, L и .1', В', . . . , К', L' точки первого расположены так,' что В лежит между А с одной стороны и С, D,. .. , К, L с другой. С между А, В с одной стороны и L), ..., К, Lc другой и т. д.,
то и точки А', В'.....К', L' расположены таким же образом,
т. е. В' лежит между А' с одной стороны и (•', L)', . . . , К', L' с другой, С лежит между А', В' с одной стороны и L)1, ¦ . ¦ , К', L' с другой и т. д.
Теорема 10 "). Если угол Z(Ji, Jr) конгруэнтен как углу Z(Ii', /с'), так и углу Z (Ji', к"), то угол Z (Ji, к') конгруэнтен углу Z (A", к"), т. е, если
Z(K Ir)-Z(K', к') и Z(h, Jr) (А", Jr"), то также всегда
Z(Ii', V) = Z(Ji", к") *).
Пояснение. Пусть угол Z(Ji, к) конгруэнтен углу Z(Ji', Jr'). Так как по аксиоме III 4 угол Z(Ii, к) конгруэнтен углу Z(Ji, к), то из теоремы 10 следует, что и угол Z(Ji', Jr') конгруэнтен углу Z(Ii, к); мы называем углы Z(Ii, к) и Z(Ji', Jr') взаимно конгру-энтными.
Пояснение. Два угла, имеющие общую вершину и одну общую сторону, не общие стороны которых составляют прямую линию, называются смежными углами. Два угла с общею вершиною, стороны которых попарно составляют прямые линии, называются вертикальными углами. Угол конгруэнтный с своим смежным углом называется прямым углом.
*) Это предложение в прежних изданиях было выставлено как аксиома и было выведено А. Rosenthal'eM (Math. Ann. 71) из остальных аксиом конгруэнтности при помощи аксиом групп I и II. Одновременно он показал, как можно III і и 4 заменить аксиомами с меньшими требованиями 7).
§ 6. Следствия.
13
Существование прямых углов известным образом вытекает из НІ і, III 4, III 5. Именно, если произвольный угол отложить от его вершины при одной из его сторон и затем сделать равными наружные стороны, то прямая, соединяющая эти конечные точки, перпендикулярна к общей стороне.
Два треугольника ABC и А'В'С называются взаимно конгруэнтными, если удовлетворены совместно все конгруэнции:
AB-А'В', АС — А'С, BC = B'С JlA= Л A', Л В ^ Л В', JlC=JlC'.
Черт. 9.
Теорема 11. (Первая теорема о конгруэнтности треугольников). Если для двух треугольников ABC и А' В'С (черт. 9) удовлетворены конгруэнции:
AB-A'В', АС—А'С, JlA = JlA', то оба треугольника взаимно конгруэнтны.
Доказательство. По аксиоме III 5 удовлетворены конгруэнции JlB=JlB' и ЛС ЛС, и поэтому остается топько доказать, что стороны ВС и В'С взаимно конгруэнтны.
Действительно, если мы примем напротив, что ВС не конгруэнтна В'С и определим на В'С точку ]У так, что ВС— BTJ', то два треугольника ABC и А'В'D' совпадают своими двумя сторонами и заключающимся между ними углом; следовательно, по аксиоме III 5 оба угла JlBAG и ЛВА'ТУ между собою конгруэнтны. В этом случае угол^/»МСбылбы конгруэнтен, как углу JlB'A'D , так и углу —IB А'С. Но это невозможно, ибо по аксиоме III 4 каждый угол может бытн только единственным способом отложен при данном луче в данную сторону на плоскости. Этим вполне доказана теорема 11.
14
Глава I. Пять групп аксиом.
Так же легко доказываем мы и следующее положение: Теореіма 12. (Вторая теорема о конгруэнтности треугольников).
