Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
V (-«і — Щ + Ui — U2Y + (Ui — Ui)'' +(? — S2)', и два произвольных отрезка A1A9 и A1A'., будем теперь называть взаимно конгруэнтными, если их длины, в установленном только что смысле, равны.
26 Глава II. Взаимная непротиворечивость л независимость аксиом.
где Я, Я', [і, ц', V, v' обозначают определенные постоянные, a t некоторый параметр. Если Z1, Z2 (< Z1), Z3 (< ?,) суть значения параметра, соответствующие точкам J1, J2, J3, то находим для длины отрезков J1J2(J2J3 и J1J3 соответственно выражения:
и поэтому сумма длин отрезков J1J2 и J2-I;) равна длине отрезка A1A3; это обстоятельство обусловливает наличность аксиомы III 3.
.г = а/-1-Я',
g = vt-\- I'',
ік — іл і/(л+jo*4v+i^
(Z2 У I }Л/. + vF + v? 4-^
Однако, аксиома III 5, или лучше сказать первая теорема о конгруэнтности треугольников, не всегда выполнена в нашей геометрии. Если мы рассмотрим, напр., в плоскости т— 0 четыре точки
0100»
Черт. 15.
A lto)
то в обоих" (прямоугольных) треугольниках CJC и OBC (черт. 15) углы при С и прилежащие стороны взаимно конгруэнтны, именно—
Непосредсгвенно ясно, что в построенной таким образом пространственной геометрии имеют место аксиомы I, II, III і—2, 4, IV, V (равно как и теоремы 10, 13, 14, 15, 16, которые могут быть выведены с помощью III 5).
Чтобы показать, что и аксиома III 3 имеет место, берем произвольную прямую а и на ней три точки J1, A1, J3 так, что точка A2 лежит между .4, и А.л. Пусть точки x,y,z прямой а даны уравнениями
$ 12. Независимость аксиом непрерывности.
27
сторона UC общая у обоих треугольников, и отрезки AC и ВС имеют равные длины—Напротив, третьи стороны OA и OB, имеющие соответственно длины 1 и |/2, не конгруэнтны между собою.
Не трудно также в этой геометрии найти два треугольника, для которых не удовлетворена самая аксиома III 5.
§ 12.
Независимость аксиом непрерывности V (не-архимедова
геометрия).
Для доказательства независимости аксиомы Архимеда V і мы должны построить геометрию, в которой были бы удовлетворены все аксиомы за исключением аксиом V, эти же последние, напроти^, не имели бы места *).
Для этой цели построим область U (t) всех тех алгебраических функций от t, которые получаются из t посредством четырех операций счета—сложения, вычитания, умножения, деления и пятой операции J |/ї -f- и)2 при этом со должна означать какую-либо алгебраическую функцию, полученную уже посредством этих пяти операций. Множество элементов Q (і)—подобно тому как и множество элементов области Q в § 9—есть множество исчислимое. Все пять операций однозначны и дают вещественные значения; область Q(t) содержит поэтому только однозначные и вещественные функции от f.
Пусть сесть какая-либо функция области Й (/); так как функция с есть алгебраическая функция от то она может обратиться в нуль во всяком случае только для конечного числа значений t, и поэтому функция с для достаточно больших положительных значений t будет оставаться или всегда положительною или всегда отрицательною.
Будем рассматривать теперь функции области й (t), как род комплексных чисел; очевидно, в определенной таким образом комп-
*) G. Veronese в своем глубокомысленном трактате: „Основания геометрии' („Grundzuge der Geometrie*, deutsch von A. Schepp, Leipzig, 1894) также сцелал попытку построения геометрии, которая была бы независима от аксиомы Архимеда.
1
28 Глава И. взаимная непротиворечивость и независимость аксиом.
лексной числовой системе имеют место все обыкновенные правила счисления. Далее пусть, если а, Ь суть два различные числа этой комплексной системы чисел, число а называется большим или меньшим числа Ъ—-в символах а > b или а < Ъ,—смотря по тому будет ли разность с = а — как функция от t, для достаточно больших положительных значений t всегда положительною или всегда отрицательною. При таком условии является возможным установить для чисел нашей комплексной системы порядок, аналогичный с порядком вещественных чисел; легко видеть также, что для наших комплексных чисел имеют место теоремы, по которым неравенства остаются справедливыми, если мы к обеим сторонам прибавим по равному числу или умножим обе стороны неравенства на равные числа > 0.
Если п означает произвольное целое положительное число, то для чисел и и t области й (Г) наверное имеет место неравенство її < t, т. к. разность п — t, рассматриваемая как функция от t, очевидно остается неизменно отрицательною для достаточно больших значений t. Мы выражаем это положение следующим образом: два числа 1 и t области й (/), оба > 0, имеют то свойство, что произвольное кратное первого остается постоянно менее второго. *
Мы строим теперь из комплексных чисел области й (t) некоторую геометрию совершенно так же, как это выполнено в § 9, где положена в основу область й алгебраических чисел: мы мыслим систему трех чисел (./', у, г) области й (/), как точку, а отношения каких-либо четырех чисел (u:r:w:r) области Й (t), при условии, что и, V, w одновременно не нули,— как плоскость; пусть далее существование уравнения
