Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
С помощью теоремы 6 мы без особых трудностей приходим к следующим теоремам:
Теорема 7. Всякий простой многоугочьник, вершины которого лежат в одной плоскости а, разделяет точки этой плоскости, не
8
Глава I. Пять групп аксиом.
принадлежащие к ломанной, образующей этот многоугольник, на две области — внутреннюю и внешнюю, имеющие следующие свойства: если (черт. 7) есть точка внутренней области (внутренняя точка)? а В—точка внешней (внешняя точка), то всякая ломанная
угольника; напротив, не существует такой прямой, которая была бы целиком расположена во внутренней области многоугольника 3),
Теорема 8. Каждая плоскость а разделяет прочие точки пространства на две области, имеющие следующие свойства: каждая точка А одной области определяет с каждою точкою В другой области отрезок AB, внутри которого лежит точка плоскости а; напротив, каждые две точки А и А' одной и той же области определяют всегда отрезок АЛ', не содержащий никакой точки плоскости а 1).
Пояснение. Употребляя обозначения теоремы 8, мы говорим: точки А и Л' лежат в пространстве по одну и ту же сторону от плоскости а, а точки А к В лежат в пространстве по разные стороны от плоскости а.
Теорема 8 выражает важнейшие факты, касающиеся порядка элементов в пространстве; эти факты суть поэтому исключительно следствия из до сих пор рассмотренных аксиом; в группе II нет надобности ни водной новой пространственной аксиоме.
В
Черт. 7.
линия соединяющая А с В имеет по меньшей мере одну точку общую с многоугольником; если, напротив, А, А' суть две точки внутренней области и В, В'—две точки внешней, то всегда существуют ломанные линии, соединяющие А с А' и В с В' и не имеющие ни одной общей точки с многоугольником. Существуют прямые в плоскости а, целиком расположенные во внешней области много-
§ 5. Аксиомы конгруэнтности.
9
§ 5.
Группа аксиом III: аксиомы конгруэнтности.
Аксиомы этой группы определяют понятие конгруэнтности и вместе с тем понятие движения.
Пояснение. Отрезки находятся друг к другу в известных отношениях, для описания которых нам служат слова „конгруэнтный" или „равный".
НІ і. Если А. В две точки на прямой а, а А' — точка на той оке прямой или на друюй прямой а', то всегда можно найти по данную от точки А' сторону прямой а одну и только одну такую точку В', что мпрезок AB конгруэнтен, или равен отрезку А'В'; 'это отношение между отрезками AB и А'В' обозначается так:
AB-AB'.
Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е. всегда AB=AB и AB=BA.
Мы говорим также короче: каждый отрезок может быть однозначно определенным образом отложен по данную сторону на данной прямой от данной точки.
III 2. Если отрезок AB конгруэнтен, как отрезку А'В', так н отрезку А"В", то и А'В' конгруэнтен отрезку А"В"; т. е., если
AB ^A1B' и AB-= А"Л".
то также
AB' == А" В".
А В С а
А В' С а'
Черт. 8.
IH 3. Пусть AB и ВС два отрезка па прямой а (черт. 8) без общих точек; далее, пусть А'В' и В'С два отрезка
10
Глава I. Пять групп аксиом.
на той же или на другой прямой а' тоже без общих точек. Если при этом
АВ^А'В' и BC=PC1 „
то всегда также
AC^ А'С.
Пояснение. Пусть а есть произвольная плоскость, a Ji, к какие-либо два различные исходящие из точки О луча в плоскости а, принадпежащие различным прямым.
Систему этих двух лучей //, к мы называем углом и обозначаем Z. (h, Jr) или Z. (к, Ii). Из аксиом Il і—4 можно легко-заключить, что лучи h и к, взятые - вместе с точкою О, делят все прочие точки плоскости на две области, имеющие следующие свойства: если А есть точка одной и В точка другой области, то всякая ломанная, соединяющая А с В, либо проходит через О, либо имеет с Ji или к по меньшей мере одну общую точку; если, напротив, А, А'—точки одной и той же области, то всегда существует ломанная, соединяющая А с А' и не проходящая ни через точку О, ни через какую-либо точку лучей Ji и к.' Одна из этих двух областей отличается от другой тем, что каждый отрезок, соединяющий какие-либо две точки этой особой области, лежит в этой области целиком; эту область fiw. назовем внутреннею областью угла Z. (Ii, Ir) в отличие от другой области которую можно назвать внешнею областью угла ZL (Ji, Jr). Лучи h, к называются сторонами угла, а точка О — его вершиною.
Пояснение. Углы находятся друг к другу в известных отношениях, для описания которых мы будем пользоваться, как и для отрезков, словами „конгруэнтный" или „равный,''
III 4. Пусть даны —угол Z (Ii, к) в плоскости а и прямая а' в плоскости а', а также определенная относительно а' сторона плоскости а'. Пусть Ji' .означает луч прямой а' > исходящий из точки О'; тогда в плоскости а' существует один и только один луч к' такой, что угол Z (Ji, Jr) конгруэнтен или равен углу Z (Ji', к'), и вместе с тем все внутренние точки угла Z (Ji', Jr-') лежат по данную сторону от а'; это отношение между углами обозначается так:
Z (Ji, Jr)^ Z(Ji', ?).
§ 6. Следствия.
II
Каждый угол конгруэнтен самому себе, т. е. всегда JL (Ji, k) Jl(h, 7.) и JL(Ii, X-)== JL(Jc, Ji).
