Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Настоящее исследование есть новая попытка выставить для геометрии полную и возможно более простую систему аксиом и вывести из них важнейшие геометрические теоремы так, чтобы при этом возможно ярче выяснилось значение различных групп аксиом и объем следствий выводимых из отдельных аксиом.
*) Ср. резюмирующие и поясняющие работы G. Veronese,—.Grundzuge der Geometrie", deutsch von A. Schepp, Leipzig, 1894 (приложение) и F. Klein,—„Zur ersten Verteilung des Lobatschefsky-Prases'", Math. Ann. Bd. 50.
Гильберт. Основании геометрии. 1
Глава I.
Пять групп аксиом. § 1.
Элементы геометрии и пять групп аксиом.
Пояснение, Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем их А, В, С...; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем их а, Ь, с... вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем их а, ?, точки называются также элементами линейной геометрии, точки и прямые называются элементами плоской геометрии и наконец точки, прямые и плоскости называются элементами пространственной геометрии или элементами пространства.
Мы мыслим точки, прямые, плоскости находящимися в известных взаимных отношениях и обозначаем эти отношения словами „лежат", „между", „параллельный", "конгруэнтный" и „непрерывный"; точное и для математических целей полное описание этих отношений дается аксиомами геометрии 1).
Аксиомы геометрии мы можем распределить в пять групп; каждая отдельная из этих групп выражает известные, связанные между собою основные факты нашего представления. Мы обозначаем эти группы следующим образом: -»
І і —8. Аксиомы сочетания (Axiome der Verknupfung),
II і—4. Аксиомы порядка (Axiome der Anordnung),
III [—5. Аксиомы конгруэнтности (Axioifle der Kongruenz), IV. Аксиома параллельности (Axiom der Parallelen), V і —2. Аксиомы непрерывности (Axiome der Stetigkeit).
§ 2. Аксиомы сочетания.
3
§ 2.
Группа аксиом I: аксиомы сочетания.
Аксиомы этой группы устанавливают сочетание между введенными выше понятиями—точки, прямые и плоскости — и выражаются следующим образом:
I і. Две различные точки AuB всегда определяют прямую а.
Вместо термина „определяют" мы будем употреблять и другие, напр.—а „проходит через" А „и через" В, а „соединяет" А „и" В или а „соединяет" „с" В. Если А есть точка, которая вместе с другою точкою, определяет прямую а, то мы употребляем также выражения: А „лежит на" а, А „есть точка" а, „на" а „существует точка" А и т. д. Если А лежит на прямой а и сверх того на другой прямой Ь, то мы говорим: „прямые" а „и" Ь „имеют общую точку А" и т. д.
I 2. Любые две различные точки прямой определяют эту прямую.
I 3. На прямой всегда существуют по меньшей мере две точки; в каждой гигоскости существуют всегда по меньшей мере три точки, не лежащие нг одной прямой *)«
I 4. Три не лежащие на одной а той ж% прямой точки А, В. С всегда определяют плоскость а.
Мы будем употреблять также выражения: А, В, С „лежат я а" а; А, В, Г „суть точки" а, и т. д.
I 5. Любые три точки плоскости, не лежащие на одной прямой, определяют эту плоскость.
I 6. Если две точки А, В прямой а лежат в плоскости а то и всякая точка прямой а лежит в плоскости а.
В этом случае мы говорим: прямая а „лежит в" плоскости а, и т. д.
*) A. Rosenthal показал (Math Ann. 69), что, присовокупив пространственные аксиомы этой группы, достаточно постулировать, что в плоскости существует всегда по меньшей мере одна точка. Ограничиваясь элементами одной плоскости, можно, если присовокупить плоскостные аксиомы группы II, первую часть I 3 ограничить требованием, что на прямой существует по меньшей мере одна точка.
4
Глава I. Пять групп аксиом.
I у. Если две плоскости а и ? имеют общую точку А, то они имеют по меньшей мере еще одну общую точку В.
I 8. Существуют по меньшей мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Аксиомы I г—з могут быть названы плоскостными аксиомами группы I, в отличие от аксиом I 4—8, которые я называю пространственными аксиомами группы I.
Из теорем, вытекающих из аксиом І і—8, я упомяну только следующие две:
Теорема 1. Две прямые какой-либо плоскости или имеют одну общую точку или не имеют ни одной; две плоскости или не имеют ни одной общей точки или имеют общую прямую; плоскость и не лежащая на ней прямая или имеют одну общую точку или не имеют ни одной.
Теорема 2. Через прямую и не лежащую на ней точку, также как и через две различные прямые с одной общей точкой, проходит всегда одна и только одна плоскость.
§ 3.
Группа аксиом II: аксиомы порядка *).
Аксиомы этой группы определяют понятие „между" и дают возможность на основании этого понятия установить порядок точек на прямой, в плоскости и в пространстве.
Пояснение. Точки прямой находятся друг с другом в известных соотношениях, для описания которых нам служит преимущественно слово „между".
II і. Если А, В, Г7—
/\ JB Q точки одной прямой, и
' 1 1 В лежит между А и С,
.. , то В лежит также
