Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
п
XVJII
ных вопросов проективной геометрии, показавши, что ее основной характер лежит в изучении взаимного расположения (des Ineinanderliegens) точек, прямых и плоскостей, т. е. в пользовании только теми аксиомами, которые Гильберт называет аксиомами сочетания и аксиомами порядка. Таким образом его изложение показывает независимость проективной геометрии, которую он назвал геометрией положения, от аксиом конгруэнтности, без которых невозможно изучение метрических свойств фигур. Но и после его работ оставался невыясненным вопрос об отношении проективной геометрии к аксиоме о параллельных линиях и к аксиоме о непрерывности. Полное выяснение первого вопроса есть заслуга Феликса Клейна. Как мы уже указали выше, Клейн обратил внимание на то, что проективное мероопределение Кэли дает в зависимости от положенного в основание мероопределения абсолюта (плоская кривая или поверхность второго порядка) для расстояний и углов формулы той или другой из трех возможных теорий параллельных: Евклида (параболическая геометрия, гипотеза прямого угла Саккери), Риманна (эллиптическая геометрия, гипотеза тупого угла) и Лобачевского-Болиаи (гиперболическая геометрия, гипотеза острого угла) *). Проективная геометрия может быть таким образом построена и без аксиомы о параллельных линиях.
Клейн обратил также внимание и на другой важный вопрос,—на пробел в Доказательстве основной теоремы проективной геометрии, дапном Штаудтом. Этот пробел, замеченный также Вейерштрассом в его лекциях, связан с вопросом о непрерывности геометрических образов и с учением о вещественных (рациональных и иррациональных) числах. Первые начатки анализа понятия о непре-
т) В интересных автобиографических сведениях, которыми Клейн, снабдил первый том издания своих мемуаров (Берлип, 1921 г.), он сообщает, что, когда в математическом семинарии Вейерштрасса в марте 1870 г. он закончил свое сообщение, о мероопределении Кэли предположением о его связи с неевклидовою геометриею,то Вейерштрасс отрицал такую свягь на том основании, что обычное определение расстояния между двумя точками есть необходимый исходный пункт для обоснования геометрии и что поэтому прямая линия должна быть определяема^ как линия кратчайшего расстояния.
XIX
рывности даны были греческими геометрами в приеме доказательства от обратного для построения строгой теории пропорций между геометрическими величинами и в методе исчерпания. И в том и в другом случае в основе доказательства лежит постулат Евдокса - Архимеда. Но в „Началах" Евклида возможность пересечения прямых и окружностей не обосновывается аксиоматически (см. теорему 1-ую I книги), но является фактом, почерпаемым из интуиции. Только в начале XIX столетия Больцано и Лобачевский *) старались внести строгость в вопросы, связанные с непрерывностью. Окончательно это удалось Вейерштрассу, Георгу Кантору **) и Дедекинду ***).
В связи с данными ими теориями иррациональных чисел они формулировали постулат непрерывности прямой (и вообще геометрических образов) и дали таким образом возможность установить одно - однозначное соответствие между множеством вещественных чисел и мнояієством точек, т.-е. возможность построить Декартову геометрию ****). В сочинении Гильберта место этих постулатов занимает аксиома полноты *****), которая вместе с аксиомою Архимеда определяет обыкновенную или Архимедову непрерывность (континуум 2-го порядка или математический континуум, как его называет Пуанкаре в начале своего сочинения „Наука и гипотеза"). О возможности континуума высшего порядка (актуально бесконечные числа Веронезе) мы скажем несколько слов дальше.
*) В своих работах о сходимости строк он первый вводит различие между непрерывностью и дифференцируемостью функций.
**) Работы Кантора в русском переводе см. „Новые идеи в математике", вып. 6.
***) Основной мемуар Дедекинда „ Непрерывность и иррациональные #¦
числа" в русском переводе напечатан в сборнике „Об основаниях арифметики", изданном Казанским студенческим физико-математическим кружком, а также отдельной брошюрой (Одесса, 1909).
***•) На этом подробно останавливается Клейн в отчете, представленном им Казанскому физико-математическому Обществу1, по поводу присуждения первой премии Лобачевского, на который ссылается Гильберт в введении к своему сочинению (См. Извест, Каз. Физико-математ. Общ., т. 8. 1898). Отзыв вошел также в 1 том сочинений Клейна (Berlin. 1921).
*****) (Jg ее отношении к постулату Дедекинда см. примечание 1 к главе III.
ІГ
XX
В связи с развитием неевклидовой и проективной геометрии находится также и новое более глубокое отношение к вопросу о равенстве или конгруэнтности геометрических образов. По поводу этого вопроса мы встречаемся также с одним пз „пятен" Евклидовой геометрии. В числе основных положений „Начал" мы находим положение: „совмещающиеся величины равны между собою". При доказательстве первого случая равенства треугольников—треугольники, в которых две стороны и угол между ними заключающийся соответственно равны (теор. 4 книги 1-ой)— Евклид пользуется этим положением, неявно предполагая • возможность передвижения фигуры из одного положения в другое и вводя таким образом в геометрию понятие движения. Уже комментатор XVI столетия Пелетарий считал, что теорема 4-ая не нуждается в доказательстве, но должна быть взята как определение *). В своем классическом ме-муаре: „О гипотезах, лежащих в основах геометрии" **), представляющем в настоящее время большой интерес, благодаря гениальной теории относительности Эйнштейна, Риманн выяснил значение скрытого у Евклида постулата о возможности движения геометрических образов, показав, что он сводится к предположению, что рассматриваемое многообразие (поверхность или пространство) есть многообразие постоянной кривизны. Риманн исходил в своих исследованиях из общего понятия о многообразии многих измерений, и геометрия, как частный случай учения о многообразиях, является в его мемуаре впервые частью чистой математики. Напротив Гельмгольц (и в этом отношении он имел предшественника в Ибервеге: Беркли и Лобачевский высказывали подобные же взгляды) рассматривает в мемуаре: „О фактах лежащих в основе геометрии" ***) геометрию как физическую науку и выводит ее основные понятия из
