Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 7

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — Петроград-книгоиздательство Сеятель, 1923. — 152 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniya-geometrii.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 64 >> Следующая


*) В системе Гильберта за аксиому принята часть теоремы 4-ой (равенство углов), другая же часть ее (равенство третьих сторон) составляет теорему 11-ую.

**) Перевод этого мемуара. принадлежащий проф. Д. М. Синцову^ «помещен в вышеупомянутом сборнике — „Об основаниях геометрии" (Казань, 1896).

***) Перевод, сделанный мною, напечатан в том же сборнике: „Об основаниях геометрии".

XX

свойств движений. Важным шагом в развитии понимания сущности геометрии явилась „Эрлангенская программа" *) <1872) Клейна, в которой различные геометрические дисциплины (Евклидова и неевклидова геометрии, проективная геометрия, анализ положения) рассматривались как частные ¦случаи общего учения о группах преобразований, и вопрос об основаниях геометрии ставился в связь с теориею непрерывных групп, созданною знаменитым норвежским математиком Софусом Ли, который и дал позже, исходя из этой теории, систему аксиом, достаточную для построения геометрии. Тесная связь образования наших пространственных представлений со свойствами групп движений была выражена Пуанкаре в фразе: „пространство есть группа".

Необходимо отметить в Эрлангенской программе Клейна и то место ее, в котором Клейн подчеркивает зажное значение данного неевклидовой геометрией доказательства независимости аксиомы о параллельных линиях от других аксиом геометрии и указывает на необходимость проведения подобных же исследований по отношению к каждой аксиоме и не только геометрии. „.Этим путем могло бы быть достигнуто решение вопроса о взаимном отношении аксиом".

К началу восьмидесятых годов прошлого столетия была поставлена таким образом снова задача построения геометрии как дедуктивной науки, которая из небольшого числа основных положений выводит исключительно логическим путем совокупность геометрических истин, из этих положений вытекающих. Первое решение этой задачи было за двадцать веков тому назад дано в „Началах" Евклида, но это решение, гениальное для своей эпохи, не могло уже удовлетворять критическую математическую мысль XIX столетия. Вместе с постановкою этой задачи было подготовлено и многое для ее решения, были выделены группы аксиом (аксиомы проективной геометрии, аксиомы конгруэнтности, аксиома параллелизма, аксиома непрерывности) и подвергнуто частичному рассмотрению отношение Уіежду этими группами аксиом.

*) „Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований". (Вошло в I том полного собрания сочинений Клейна, изданного в 1921 г.). Русский перевод, принадлежащий проф. Д. М. Синцову, издан в Казани в 1895 г.

XXII

Первою выдающеюся работою в направлении решения задачи об основаниях геометрии было сочинение Наша: „Vorlesungen uber neuere Geometrie" (1882 г.). Паш формулировал поставленную задачу в словах: „основные положения геометрии должны охватить весь эмпирический материал, нужный математику для того, чтобы, установив их,, ему уже не приходилось возвращаться к чувственному восприятию". Крупною заслугою книги Паша является прежде всего выделение из общей группы аксиом проективной геометрии тех аксиом, которые могут служить для определения понятий „между" и „внутри" (аксиомы порядка)-На соответветствующий недостаток Евклида впервые обратил внимание Гаусс. Паш определяет эти hohhtha1 рядом аксиом. Та из них, которая относится к расположению фигур на плоскости и позволяет установить деление плоскости на две полуплоскости, внесена Гильбертом в его систему аксиом (аксиома II 4).

Паш дал также логически безупречную систему аксиом конгруэнтности, основанную на введении первоначального * понятия конгруэнтности между двумя фигурами.

Ту же строгость в определении основных понятий и формулировке основных положений, которою отличается сочинение Паша, внесли в свои работы по обоснованию геометрии математики итальянской школы Пеано.

Пеано в своих Л principii di Gepmetria logicamente esposti" (Torino, 1889) дал систему аксиом, весьма схожую с системою-Паша, но кроме того ввел в свое изложение развитый пм специальный логический символизм. Пз многочисленных работ геометров школы Пеано (Пиери, Падоа, Вайлати, Вакка и др.) необходимо отметить работу Пиери, имеющую большое значение в вопросах, связанных с порядком. Итальянская школа обратила также особенное внимание на вопросы о полноте и независимости аксиом и первоначальных понятий и о совместимости аксиом между собою, причем преследовала особенна цель ограничить число первоначальных понятий, принимаемых без определения при логическом построении геометрии *).

*) Изложению работ Пеано, Пиери и др. между прочим посвящена та часть ,,Principles of Mathematics" Бертрана Ресселя, которая трактует вопросы геометрии. См. также Кутюра „Философские принципы математики"-

В 1891 г. появилось сочинение Веронезе „FondamentL di Geometria"—обширное сочинение в 700 страниц, посвященное в значительной степени обоснованию трансфинитной арифметики. В этом сочинении впервые построена система не-архимедовых чисел и на этом основании введен в геометрию континуум высшего порядка сравнительно с континуумом всех вещественных чисел *).
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed