Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Если в двух треугольниках соответственно конгруэнтны между собою одна сторона и оба прилежащие к ней угла, то треугольники конгруэнтны.
Мы в состоянии теперь доказать следующие важные положения.
Теорема 13. Если два угла ZABC и ZA'B'C (черт; 10) взаимно конгруэнтны, то и смежные им углы Z CBD и Z С В'I)' \ тоже взаимно конгруэнтны.
с с-
Черт. 10.
Доказательство. Выберем точки АСЕ' на сторонах, проходящих через точку В', так, чтобы А' В' — Ali, - CB' = CB, LУ В'= D-B. Тогда в треугольниках ABC и А'В'С стороны AB и CB конгруэнтны, соответственно, сторонам А'В' и CB'; кроме того по предположению конгруэнтны и углы, заключающиеся между этими сторонами; на основании теоремы 11 треугольники конгруэнтны, т. е. AC= А'С и ZBAC- Z?'A'C.
Так как с другой стороны по аксиоме HI 3 отрезки Af) и AD' взаимно конгруэнтны, то из теоремы 11 отсюда следует конгруэнтность треугольников CAD и C'A'D', т. е.
TD = CD' и ZADC ZA'D'C;
отсюда по аксиоме III 5, из рассмотрения треугольников BCD и BCD', заключаем о конгруэнтности углов ZCBD и ZCBD'.
Непосредственным следствием теоремы 13 является теорема о равенстве вертикальных углов.
Теорема 14. Пусть угол Z(Ji, к) в плоскости а конгруэнтен углу Z (h, Ic) в плоскости а', и пусть кроме того I есть луч плоскости а, исходящий из вершины угла Z (Ii, к) и расположенный во
§ 6. Следствия.
15
внутренней области этого угла: тогда существует всегда луч Z' в плоскости а', выходящий из вершины угла —(A', к') и расположенный во внутренней области этого угла JL(Ji', ?) так, что:
jL (Л, I)^jL(V, і') и л (к, і,=л (к; V).
Доказательство. Обозначаем вершины углов JL (Л, ^hZ(A', (черт. 11) буквами О и С и затем определяем на сторонах Ь, к, h', к' точки А, В, А', В' так, чтобы были удовлетворены конгруэнции OA = O1A' и OB О'В'.
Oh А О' К К
Черт. 11
Вследствие конгруэнтности треугольников OAB и О'А'В' имеем AB = А'В', JL OAB = Л О'А'В', Л OBA = Л О'В'А'.
Прямая AB пересекает / в точке С; определим тогда на отрезке А'В' точку Г" так, чтобы А'С— АС; О'С и есть искомый луч V. Действительно из AC = A4'' V AB — А'В' на основании аксиомы III 3 легко выводится конгруэнция BC=B1C \ теперь оказывается, что треугольники OAC и О'А'С, равно как и треугольники OBC и О'В'С , взаимно конгруэнтны, а отсюда вытекают утверждения теоремы 14.
Подобным же образом мы выводим след^фщее положение: Теорема 15. Пусть Ii, к, I с одной стороны и //', /', V с другой—лучи, исходящие, соответственно по три, из одной точки и расположенные в одной плоскости; тогда, если имеют место конгруэнции ,
jL>li, I) = JL(h\ V)) и Л (к, I)-JL(Zc', 1'Г), то всегда имеет место и конгруэнция
Jl(h. к) =- JL(Ii. к'\
16
Глава I. Пять групп аксиом.
На основании теорем 13 и 14 является возможным доказать следующую простую теорему, которую Евклид—по моему мнению неправильно—поместил в число аксиом.
Теорема 16. Псе прямые углы равны между собою*).
Доказательство. Пусть (черт. 12) угол JLBAD- конгруэнтен своему смежному углу JL CAD, и подобным же образом угол
В
D
А
с в'
D'
А
Черт. 12.
JLB'A'D' конгруэнтен своему смежному углу JL CA'D ; 'тогда все углы JLBAD1 JLCAD, JLB1AD', JLCA1D' суть прямые. Предположим, вопреки утверждению теоремы, что прямой угол JLВ'A1D' не конгруэнтен прямому углу JL HAD, и отложим тогда JLBWD' от луча АН так, что другая сторона AD" упадет или во внутренней области угла JLHAD, или во внутренней области угла J CAD. Предположим первое. Из конгруэнтности углов JL ВAD' и J BAD" на основании теоремы 13 вытекает, что и угол J. СA1D' конгруэнтен углу J. CA О", а так как углы JL B'A'D' и JL CA1D' конгруэнтны между собою, то по геореме 10 и угол J BAD" должен быть конгруэнтен утлу J CAD". Далее, так как JL BAD конгруэнтен J CAD, то мы можем по теореме 14 найти внутри угла J CAD выходящий из точки А
*) Th. Vahlen отметил в своей книге „Abstrakte Geometrie" (Leipzig, 1905, стр. 242), что уже Лежандр доказал это предложение. Лежандр однако делает предположение, что углы образуют систему непрерывных величин. Вместе с тем Th. Vahlen показал там, что обратно из принятия теоремы 16 следует однозначность отложения углов, т. е. одна часть аксиомы III 4 вытекает при этом из другой- части аксиомы III 4,—именно из возможности отложения углов,—и других аксиом конгруэнтности.
Следствия.
17
луч AD"' так, что угол Л. BAD" будет конгруэнтен углу JL CAD" и в то же время Л. DAB" конгруэнтен JLDAD'". Но угол JlBAD" конгруэнтен углу Jl CAD", и поэтому го теореме 10 угол JlCAD" должен быть конгруэнтен углу Л. CAD"; но это невозможно, потому что по аксиоме III 4 каждый угол может быть отложен только одним способом при данном луче в данную сторону на плоскости; таким образом теорема 16 доказана.
Мы можем теперь ввести обозначения .,острый угол" и „тупой угол1', как это делается обыкновенно.
Теорема о конгруэнтности в равнобедренном треугольнике -IBC углов при основании Л. А и JL В следует непосредственно из применения аксиомы III 5 к треугольникам AHC и ВАС. С помощью этой теоремы и пользуясь теоремою 15, мы легко доказываем известным способом следующее положение:
