Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 17. (Третья теорема о конгруэнтности треугольников). Если в двух треугольниках три стороны одного соответственно конгруэнтны трем сторонам другого, то треугольники конгруэнтныя).
Пояснение. Совокупность конечного числа точек называется фигурою; если все точки фигуры лежат в одной плоскости, то фигура называется плоскою.
Две фигуры называются конгруэнтными, если их точки могут быть попарно сопряжены друг с другом так, чтобы сопряженные при этом отрезки и углы были все взаимно конгруэнтны.
Конгруэнтные фигуры имеют по теоремам 9 и 13 10) следующие свойства: три точки одной прямой лежат во всех конгруэнтных фигурах также на одной прямой. Расположение точек в соответственных плоскостях относительно соответственных прямых в конгруэнтных фигурах одно и тоже; тоже самое имеет место относительно ряда соответственных точек на соответственных прямых.
Наиболее общая теорема о конгруэнтности для плоскости и для пространства выражается следующим образом:
Теорема 18. Если (А, В, С,...) и [A', В', С, . . .) — плоские конгруэнтные фигуры, и P обозначает точку плоскости первой фигуры, то в плоскости второй фигуры можно всегда найти такую точку В', что (JL, В, С, . . ., F) и \A, В, С, . . ., F) — также конгруэнтные фигуры.
Гильберт. Основания геометрии. 2
18
Глава I. Пять групп аксиом.
Если фигура (А, В, (\ . ..) содержит по меньшей мере три точки, не лежащие на одной прямой, то построение точки P' возможно только одним единственным образом 11I-
Теорема 19. Если (А, />', С,...) и (A', Ii', (',...) суть две конгруэнтные фигуры, и P обозначает произвольную точку, то всегда можно найти точку P' так, что фигуры (А, В, С, . . ., P) и (A', В', (", . . ., P') будут конгруэнтны между собою. Если фигура (А, Н, (\ . . .) содержит по меньшей мере четыре не лежащие в одной плоскости точки, то построение точки P' возможно только одним единственным образом.
Теорема 19 выражает тот важный результат, что все пространственные предложения о конгруэнтности, а, следовательно, и о движении в пространстве, суть следствия пяти выставленных выше линейных и плоскостных аксиом конгруэнтности, если присовокупить сюда I и II группы аксиом.
§ 7.
Группа аксиом IV: аксиома параллельности
Из всех до сих пор данных аксиом, как известно, вытекает теорема Евклида, по которой внешний угол треугольника всегда больше каждого из внутренних его углов не смежных с ним.
Пусть а есть произвольная плоскость, а произвольная прямая в а и А точка в а и вне а. Если мы проведем в а прямую с, проходящую через А и пересекающую а, и затем в той же плоскости а и через ту же точку А прямую 1> так, что прямая с пересекает прямые а и Ь под равными накрестлежащимн углами, то из упомянутой теоремы о внешнем угле вытекает, что прямые а. и Ii не имеют общей точки, т. е. в плоскости а всегда можно через точку А, лежащую вне прямой fr, провести прямую не пересекающую прямую я.
Аксиома параллельности утверждает:
IV (Аксиома Евклида): Пусть а есть произвольная прямая и А точка вне ее; тогда в плоскости, определенной точкою А и прямою а, можно провести не более одной прямой, проходящей через А и не ггересекающей а 12).
§ 7. Аксиомл параллельности.
19
Пояснение. Согласно предыдущего и на основании аксиомы •параллельности мы узнаем, что в плоскости, определенной прямою а и точкою Л, существует одна и только одна прямая, которая проходит через А и не пересекает а; мы называем ее параллельною к а через А.
Аксиома параллельности IV равносильна следующему утверждению :
если две прямые а, Ь в одной плоскости не встречают третью прямую той же плоскости, то они не встречают и друг друга.
Действительно, если бы а и 1> имели общую точку А, то через точку -1 проходили бы в одной и той же плоскости две прямые, не встречающиеся с с, что противоречило бы аксиоме IV. Точно также и, наоборот, аксиома IV легко вытекает из приведенного требования.
Аксиома параллельности IV есть плоскостная аксиома.
Введение этой аксиомы значительно упрощает основания геометрии и облегчает построение геометрии.
Пржоединяя к аксиомам конгруэнтности аксиому параллельности, мы легко приходим к известным предложениям :
Теорема 20. Если две параллельные пересечены третьей прямой, то накрестлежащие соответственные углы равны, и обратно: конгруэнтность накрестлежащих или соответственных углов имеет следствием параллельность прямых.
Теорема 21. Сумма углов треугольника равна двум прямым*).
Пояснение. Если M есть произвольная точка в плоскости а, то совокупность всех точек JL1 для которых отрезки MA взаимно конгруэнтны, называется окружностью, M называется центром окру-жнвстн.
Из этого пояснения с помощью аксиом групп III—IV легко вытекают известные теоремы об окружности, в частности возможность проведения окружности через любые три точки, не лежащие на одной прямой, равно как теорема о равенстве всех вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу, и теорема об углах вписанного в окружность четыреугольника.
*) Относительно вопроса насколько, в свою очередь, это предложение может заменить аксиому параллельности, сравн. замечания в конце главы Il § 12.
