Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
*) Лекция напечатана в 78-ом томе одного ив лучших математических журналов — „Mathematische Anhalen". К сожалению, все томы этого журнала, вышедшие за последние годы, не дошли ни до одной научной библиотеки Петрограда и, если не ошибаюсь, также и Москвы. Поэтому я знаком с этою работою Гильберта только по краткому очерку ее содержания.
XXXJ
ставила себе задачи показать отсутствие противоречий между аксиомами. Затем является необходимость изучить логические связи между различными предложениями теории: в особенности важно исследовать, независимы ли аксиомы логически друг от друга или некоторые из них могут быть доказаны на основании прочих и поэтому излишни как аксиомы. Сверх того является задача исследования „фундамента" теории для того, чтобы убедиться, что принятые теориею аксиомы не могут быть сведены на предложения более основного характера, которые могут тогда быть приняты за „более глубокий слой" аксиом.
Так как такое исследование, носящее сплошь математический характер, приложимо ко всякой области знания, допускающей теоретическую обработку, то, благодаря идее аксиоматики, математическое мышление приобретает универсальное значение для научного познания.
Но этим самым приобретает значение и задача более точного изучения математического мышления и форм математических доказательств. „Мы должны, говорит Гильберт, сделать предметом изучения самое понятие специфического математического доказательства совершенно так же, как астроном должен принимать во внимание движение места наблюдения, физик должен знать теорию своего прибора и философ подвергнуть критике разум".
Но для структуры математических доказательств имеют значение прежде всего законы логики; Гильберт уже в Гей-дельбергском докладе 1904 г. указал, что необходимо „одновременное развитие законов логики и арифметики".
Тесная связь между математикою и логикою была усмотрена уже математиками конца XMI столетия. Автор „Закона больших чисел" Яков Бернулли посвятил в 1684 г. отдельный мемуар параллелизму между рассуждением логическим и рассуждением алгебраическим. Лейбниц еще в ранней юности пришел к мысли о необходимости создать такую науку, которая позволила бы решать все вопросы и споры путем вычислений, и мысль о ней занимала его всю жизнь. В 1854 г. Буль создал алгебру логики. Позже Пеано и его школа, Фреге, Рессель и Уайтгед разработали логическое исчисление и дали возможность изображать операциями над символами умозаключения математических дока-
XXXH
зательств. Такое развитие логического исчисления дополняет методу аксиоматического обоснования науки; оно делает возможным точно проследить те умозаключения,, с помощью которых от оснований науки переходят к их следствиям. Гильберт и в методу математической логики внес изменение, аналогичное с тем, которое он внес в аксиоматическую методу. Подобно тому как он последовательно устранил из основных отношений и аксиом геометрии их наглядное содержание, так и доказательства анализа в его изложении заменяются чисто формальными операциями с определенными знаками, но определенным правилам. Подобно тому как в „Основаниях геометрии" Гильберта, основные факты пространственного представления—отношения, получаемые интуицией) между точками, прямыми и плоскостями, заменяются формальными отношениями между тремя классами вещей, так рассуждения, основанные на применении законов логики, заменяются формальными операциями над известными символами.
Математика есть общее учение о формах—таков главный вывод, к которому приводят Гильберта его исследования. Такое определение математики не ново *), но в то время как до Гильберта формальному отношению, и следовательно возможности обобщения, подвергались только связи между классами вещей, в исследованиях об аксиоматическом мышлении Гильберт применяет тот же формализм и к ходу умозаключений в математических доказательствах. Понятен поэтому тот интерес, который и вне -математических кругов должен быть вызван новыми работами Гильберта, в которых давно уже высказанная им мысль о необходимости одновременного развития законов логики и математики находит, повидимому, свое полное осуществление.
А. Васильев.
22 Августа 1922 г.
*) В моей статье „Математика" (Казань, 1916 г.) читатель найдет те определения математики, данные Грассмапом, Христалем, Кемпе, Рес-селем, Пирсом и др., которые выражают ту же самую идею. '
Так всякое человеческое познание начинается представлениями, переходит к понятиям и кончается идеями.
Кант. Критика чистого разума. Элементарное учение, 2-ая часть, 2-ой отдел.
ВВЕДЕНИЕ.
Геометрия — также как и арифметика — нуждается для своего последовательного построения в немногих и простых основных положениях. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Постановка аксиом геометрии и исследование их взаимной связи есть задача, которая со времени Евклида была предметом исследований в многочисленных прекрасных произведениях математической литературы *). Эта задача сводится к логическому анализу нашего пространственного воззрения.
