Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
Черт. 1.
между С и А (черт. 1).
II 2. Если А и С — точки одной прямой, то существует по меньшей мере одна точка В, лежащая между А и С, и по
*) Эти аксиомы впервые обстоятельно исследовал М. Pasch в своих лекциях о новой геометрии (Vorlesungen uber neuere Geometrie. Leipzig 1882) В частности аксиома II 4 принадлежит M. Pasch'y.
§ 4. Следствия.
5
меньшей мере одна точка D такая, что С лежит между AuD (черт. 2).
II 3. Из трех точек прямой всегда одна и только одна лежит между двумя другими. Пояснение.
4 Ti С1 J) Мы рассматриваем на__,_,__
прямой а две точки
А и В; систему этих Черт. 2.
обеих точек мы называем отрезком и обозначаем его через AB или BA. Точки между AnB называются точками отрезка AB или лежащими внутри отрезка AB; точки А, В называются конечными точками отрезка AB. Все прочие точки прямой а называются лежащими вне отрезка AB.
II 4. Пусть А, В, С—три не
леэюащие на одной прямой точки и а прямая в плоскости ABC, не проходящая ни через одну из точек А, В, С; если при этом прямая а проходит через точку отрезка В AB. то она непременно проходит или через точку отрезка AC или через точку отрезка ВС (черт. 3).
Черт. 3. Аксиомы II і—з содержат только
положения, касающиеся точек на одной и той же прямой, и м огут быть поэтому названы линейными аксиомами группы II. Аксиома II 4 заключает в себе положение об элементах плоской геометрии и поэтому называется плоскостной аксиомой группы II.
§ 4.
Следствия из аксиом сочетания и порядка.
Из аксиом I и II вытекают следующие теоремы:
Теорема 3. Между любыми двумя точками прямой существует
всегда беспредельное множество точек.
Теорема 4. Если даны четыре точки прямой, го они могут
быть всегда так обозначены буквами А, В, С, D. что точка В лежит,
6
Глава I. Пять групп аксиом.
как между А и С, так и между J. и I); а точка С—, как между А и D, так и между В и I) *-).
Теорема 5. (Обобщение теоремы 4). Если дано конечное число-точек прямой, то они всегда могут быть обозначены буквами А, В, С, D, Е, . . ., К так, что точка В лежит между А с одной стороны и С, D, Е, . . ., К с другой; точка С — между А, В с одной стороны и точками D, Е, . . ., К с другой; далее, I) ¦ между А, В и С с одной стороны и Е, . . ., К с другой и т. д. (черт. 4). Кроме
ABCDF К
Черт. 4.
этого способа обозначения существует еще только обратный способ обозначения К, . . ., Е, D1 С, В, А, имеющий то же самое свойство.
Теорема 6. Каждая прямая а (черт. 5), лежащая в плоскости а, разделяет не лежащие на ней точки этой плоскости на
две области, имеющие следующее свойство: каждая точка А одной области определяет вместе с каждою точкою В другой области отрезок AB, внутри которого лежит одна. Черт. 5. точка прямой а; на-
против, две любые
точки А и А' одной и той же области определяют отрезок AA', внутри которого не лежит ни одна точка прямой а**)-
*) Это предложение, отнесенное в первом издании к аксиомам, выведено Е. Н. Мооге'ом, как следствие выставленных плоскостных аксиом сочетания и порядка (Transactions of the American Mathematical Society, 1902)2). Ср. также относящиеся сюда работы Veblen'a. [Trans. Math. Soc, 1904] и Schweitzer'a [American Journ., 1909].—Желательно дать такую систему независимых аксиом, чтобы аксиомы, относящиеся к порядку точек прямой, вполне определяли этот порядок, т. е. чтобы из них одних следовала теорема 5.
**) Ср. доказательство у М. Pasc h'a, ibid., стр. 25.
§ 4. Следствия.
7
Пояснение. Пусть А, А', О, Я—четыре точки одной прямой а такие, что О лежит между А и В, но не между .4 и А' (черт. 6); мы говорим тогда, что точки А и А' лежат на прямой а с одной и той же стороны
от точки О, а Л А О В
точки А, В лежат
на прямой а по Черт. 6.
разные стороны
от точки О. Все точки прямой а, лежащие по одну и ту же сторону от точки О называются также лучем, исходящим из точки О;
*
таким образом каждая точка прямой делит ее на два луча.
Пряснение. Употребляя обозначения теоремы 6-ой, мы говорим, что точки А, А' лежат в плоскости по одну и ту же сторону от прямой а, а точки А, В лежат в плоскости а по разные стороны от прямой а.
Пояснение. Система отрезков AB, ВС, Cl),..., KL называется ломанной линией [Streckenzug—собственно цепь отрезков], соединяющей точки А и L. Эта ломанная будет обозначаться также просто ABCD . . . KL. Внутренние точки отрезков AB, ВС, CD, . . ., KTj, равно, как и точки J1 В, С, D, . . ., K,L, называются все вместе точками ломанной линии. Если при этом точка L совпадает с точкою А, то ломанная называется многоугольником и обозначается так—многоугольник ABCD. . . . К. Отрезки A?, ВС, CD, . . ., KA называются также сторонами многоугольника; точки А, В, С, D, . . ., К — вершинами многоугольника. Многоугольники с 3, 4, . . ., п вершинами называются соответственно треугольниками, четырсугольниками, п-угольниками.
Пояснение. Если вершины многоугольника все различны между собою, ни одна вершина не лежит на стороне многоугольника, и никакие две стороны многоугольника не имеют общей точки, то многоугольник называется простым.
