Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
<j 9. Непротиворечивость лксиом.
23
такие условия для наших точек и прямых, что и аксиомы Il будут все иметь место. Действительно, пусть (#!,//,), (х0,у.,), (X3, //3),... будут какие-либо точки на одной прямой; предположим, что они следуют именно в этом порядке на прямой, если числа xv х2, X3,... или уи у.,, у3,взятые в этом порядке, постоянно или убывают или возрастают: далее, для того, чтобы удовлетворить требованию аксиомы II 4, мы только должны установить, что все точки (х, у), для которых их-\-ry-\-w больше или меньше 0, лежат соответственно по одну или по другую сторону от прямой (п: г: w). Легко убедиться, что это условие находится в согласии с предыдущим условием, которым порядок точек на прямой уже определен-Откладывание отрезков и углов выполняется по известным методам аналитической геометрии. Преобразование' вида і
х' — дг—(—а,
У — !J + >> . выражает параллельное перенесе, ниє отрезков и углов. Если далее обозначить точку (0, 0) буквою О, точку (1, 0) буквою E и произвольную точку (к, Ь) буквою С, то вращение на угол Л. СОЕ если (J есть неподвижный ценгр вращения, переводит произвольную точку їх,у) в точку (х1, у'), при чем должно быть положено'
h
X-
Так как число
b , а
У>
принадлежит также к области Q, то при нлших условиях удовлетворены как аксиомы конгруэнтности III, .ак, очевидно, и аксиома Архимеда V і 1I- Не имеет места аксиома полноты V 2.
24 Глава II. Взаимная непротиворечивость и независимость аксиом.
Вследствие этого каждое противоречие в следствиях из наших геометрических аксиом I—IV, V [ должно проявиться также в арифметике области Q*).
Вводя вместо области Q в предыдущее изложение область всех вещественных чисел, мы получаем геометрию, в которой имеют место все аксиомы I — V; эта геометрия есть обыкновенная Декартова геометрия.
Каждое противоречие в следствиях из аксиом I — V должно было бы проявиться поэтому и в арифметике системы вещественных чисел.
Соответствующие соображения по отношениц^к^еометрии пространства не представляют никакой трудности"2). •
Как видно, существует бесконечное множество геометрий, которые удовлетворяют аксиомам I—IV. V і; напротив,-—только одна, а именно Декартова геометрия, в которой имеет место также и аксиома полноты V і.
Независимость аксиомы параллельности (не-евклидова
После того как мы доказали отсутствие противоречий в аксиомах, является интересным исследовать, независимы ли все аксиомы друг от друга. Действительно оказывается, что никакие существенные основные части приведенных выше групп аксиом не могут быть выведены путем логических умозаключений из предшествующих им каждый раз групп аксиом.
Прежде всего, что касается до отдельных аксиом групп I, II и III, то легко показать, что аксиомы одной и той же группы между собою независимы.
*) По вопросу об отсутствии противоречия между арифметическими аксиомами ср. мои доклады относительно понятия числа: помещенный в ,Berichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung", 1900 (Vl прибавление к немецкому изданию настоящего сочинения) и также—„Mathematische Probleme", сделанный на международном математическом конгрессе 1900 г. ICottinger Nachr., 1900], в частности проблему № 2.
§ Ю.
геометрия). і
§11. Независимость аксиом конгруэнтности.
25
Аксиомы групп I и II лежат в нашем изложении в основе прочих аксиом: так что речь идет только о том, чтобы доказать для каждой из групп III, IV и V их независимость от прочих 8).
Аксиома параллельности IV независима от прочих аксиом; это всего проще доказывается, как известно, следующим образом: примем точки, прямые и плоскости обыкновенной, построенной в § 9 (Декартовой) геометрии, поскольку они расположены внутри некоторого определенного шара, за соответствующие элементы пространственной геометрии и выразим конгруэнтность в этой геометрии посредством таких линейных преобразований обыкновенной геометрии, которые преобразуют упомянутый шар в самого себя. При подходящих соглашениях можно убедиться в том, что в этой „пе-евклидовой" геометрии удовлетворяются все аксиомы, кроме аксиомы Евклида IV, и так как в § 9 доказана возможность обыкновенной геометрии, то отсюда вытекает и возможность не-евкли-довой геометрии 4). '
§ 11.
Независимость аксиом конгруэнтности.
Из фактов, касающихся независимости аксиом конгруэнтности, мы докажем, как особо важный, следующий: аксиома III 5 или, что сводится к тому же, первая теорема о конгруэнтности треугольников, т. е. теорема 11, не может быть выведена логическими умозаключениями из прочих аксиом I, II, III 1—4, IV, V.
Мы считаем точки, прямые, плоскости обыкновенной геометрии также и элементами новой пространственной геометрии и определяем откладывание углов совершенно так же, как и в обыкновенной геометрии, напр., так, как это было указано в § 9. ^Напротив, откладывание отрезков определяем иначе. Если nj§ точки .I1, A^ имеют в обыкновенной геометрии координаты соответственно X1, yv S1 и х.2, у2, г.,, то длиною отрезка A1A2 назовем положительное значение
