Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
UX -\- Гу -\- IVZ А- г = u
выражает, что точка (х, у, z) лежит в плоскости {и: г: и:: г), и пусть прямая есть совокупность всех точек, лежащих в двух плоскостях с различными и: с: и-. Принимая затем соответствующие условия относительно порядка элементов и отложения отрезков и углов, как в § 9, мы строим „нг-архимедпву" геометрит, в которой, как это вытекает из изложенных выше свойств комплексной системы чисел й (і), имеют место все аксиомы за исключением аксиом непрерывности. Действительно, мы можем сколько угодно раз отложить отрезок 1 на отрезке t, не переходя через
§ 12. Независимость аксиом непрерывности
29
конечную точку отрезка (; это противоречит требованию аксиомы Архимеда.
Что и аксиома полноты V 2 независима от всех предшествующих аксиом I—IV, V і показывает первая—данная в § 9—геометрия, в которой имеет место аксиома Архимеда.
Геометрии одновременно не-архимедовы и не-евклидовы, имеют также принципиальное значение, и в особенности мне казался представляющим большой интерес вопрос о зависимости теоремы о сумме углов в треугольнике от аксиомы Архимеда.
Исследование, которое по моей инициативе было предпринято по этому вопросу М. Dehn'oM привело к полному его разъяснению. В основе исследований М. Dehn'a лежат аксиомы I—III. Только в конце работы М. D е h п'а—чтобы и Риманнова (эллиптическая) геометрия могла быть введена в область исследования— аксиомы порядка II представлены в несколько более общем виде, чем в настоящем мемуаре, а именно, примерно, так: четыре точки А, В, С, D прямой всегда разбиваются на две пары -4, С и В, I) так, что точки Л, С разделяются точками В, F) и обратно. Пять точек на прямой могут быть всегда обозначены буквами Л. В, С, 1), E так, что точки А, С разделяются точками В, D и В, Е, далее, точки .1, D разделяются точками В, E и С, E и т. д.
Важнейшие теоремы, доказанные М. Dehn'oM на основании аксиом I—III, т. е. без пользования непрерывностью, суть следующие:
Если в каком-либо одном треугольнике сумма углов больше или равна или меньше двух прямых, то такова она соответственно и в 'каждом треугольнике **).
Из предположения о существовании бесконечно-большого числа параллельных к прямой через одну точку не следует, если отбросить аксиому Архимеда, что сумма углов в треугольнике меньше двух прямыX^ так как, напротив, существует геометрия (не-пежан-
*) „Die Legendreschen Satze uber die Winkelsumme im Dreieck. [Math Ann., Bd. 53, 19001.
**) Доказательство для этой теоремы было дано позднее и F. S с h и г'ом |Math. Ann. Bd. 55] и потом Hjelmslev'oM [Math. Ann. 64]; в последней работе приведен очень короткий вывод, который ведет к доказательству средней части этой теоремы.
30 Глава II. Взаимная непротиворечивость и независимость аксиом.
дрова геометрия), в которой можно провести через одну точку бесконечно много параллельных к одной прямой и, в которой, несмотря на это, имеют место теоремы Риманновой (эллиптической) геометрии. С другой стороны, существует геометрия (полу-евкли-дова геометрия), в которой существует бесконечное множество параллельных через точку к прямой, и в которой тем не менее имеют место теоремы Евклидовой геометрии.
Из предположения, что не существует параллельных 1
следует неизменно, что сумма углов в треугольнике •больше двух прямых.
Замечу наконец, что, если принять аксиому Архимеда, то аксиома параллельности может быть заменена требованием, чтобы сумма углов в треугольнике была равна двум прямым.
4
Глава III.
Учение о пропорциях.
§ 13.
Комплексные системы чисел
Мы начнем эту главу несколькими краткими объяснениями, относящимися к комплексным системам чисел, которые будут нам особенно полезны в дальнейшем для упрощения, изложения.
Вещественные числа составляют в своей совокупности систему вещей, обладающую следующими свойствами:
Предложение о сочетании (1—6).
1. Из числа а и числа Ь получается посредством „сложения" определенное число с, в символах:
2. Если а и Ь суть данные числа, то всегда существует одно и только одно число jr и одно и только одно число // такие, что
3. Существует определенное число—оно называется 0—такое, что для всякого а одновременно:
4. Из числа а и числа // получается еще другим способом— посредством „умножения"—определенное число с, в символах:
ab = с или с = ab.
*) Ср. мой доклад—.Uber den Zahlbegriff' !Jahresbericht der Deutshen Mathematiker-Vereinigung, Bd. 8, 1900; VI прибавление к немецкому изданию настоящего сочинения).
a-j-Ь = с или с = а-\-(>.
соответственно у -j- а = Ъ.
а-)- 0 = а и 0-\-а = а.'
32
Глава III. Учение о пропорциях.
5. Если а и Ь произвольные данные числа, и с не есть 0, то всегда существует одно и только одно число х и одно и трлько одно число // такие, что
6. Существует определенное число—оно называется 1—такое, что для всякого а одновременно:
Правила счета (7—12):
Если а, Ь, с—произвольные числа, то всегда имеют место следующие законы счета:
Предложения порядка (13—16):
