Основания геометрии - Гильберт Д.
Скачать (прямая ссылка):
13. Если а, Ь суть какие-либо два различные числа, то всегда одно из них (напр. а) больше (>) чем другое; тогда последнее называется меньшим, в символах:
а > Ь и Ь < а.
14. Если а > Ь и /; > с, то и а > с. )
15. Если н>&, то всегда также
а-\-с >Ь-\-с
16. Если п>й и 'с >0, то всегда также
ас^>Ьс.
Предложения непрерывности (17—18):
17. (Предложение Архимеда). Если м>0 и й>0 два произвольные числа, то всегда возможно сложить а столько раз с самим собою, что полученная сумма будет иметь свойство
18. (Предложение полноты). Невозможно присоединить к системе чисел другую систему вещей так, чтобы и в расширен-
п.г = h и соответственно у и = />.
а . 1 = а и 1 . а = а.
7.
8.
9. 10. 11. 12.
а-\-а-\- . . . -\- а > Ь.
N
*) См. мой уже упомянутый доклад относительно понятия числа.
ной системе при сохранении отношений между числами имели место все предложения 1 —17; или, короче: числа составляют систему вещей, которая при сохранении всех отношений и всех вышеприведенных предложений не допускает более никакого расширения 1).
Система вещей, обладающая только частью свойств 1 — 18, называется комплексною системою чисел. Комплексная система чисел называется архимедовою или не-архимедовою, смотря по тому, удовлетворяет ли она требованию 17 или нет.
Из перечисленных свойств 1—і 8 некоторые суть следствия прочих. Является задача исследовать логическую зависимость этих свойств *). В §§ 32 и 33 главы VI мы рассмотрим два определенных вопроса этого рода в виду их геометрического значения и ограничимся теперь только указанием на то, что во всяком случае требование 17 не есть ни в коем случае логическое следствие предшествующих свойств, так как, например, рассмотренная в § 12 комплексная числовая система u(t), обладая всеми свойствами 1—16, не удовлетворяет требованию 17.
Впрочем по отношению к предложениям непрерывности П7—18) имеют место те же замечания, которые в § 8 были сделаны по отношению к геометрическим аксиомам непрерывности.
§ Н.
Доказательство теоремы Паскаля.
В этой главе и в следующей мы кладем в основу нашего исследования плоскостные аксиомы всех групп, за исключением аксиом непрерывности, т. е. аксиомы І і—3 и II—IV.
В настоящей III главе мы ставим себе целью обосновать учение Евклида о пропорциях с помощью названных аксиом, т. е. в плоскости и независимо от аксиомы Архимеда.
С этою целью мы прежде всего доказываем положение, которое представляет частный случай известной теоремы Паскаля из учения о конических сечениях, и которое я буду далее кратко называть теоремою Паскаля. Эта теорема гласит:
§ 14. Доказательство теоремы Паскаля. 33
Гильберт. Основания геометрии. і
34
Глава Ш. Учение о пропорциях.
Черт. 16.
Теорема 22") (теорема Паскаля). Пусть А, В, Си соответственно А', В', С (черт. 16) суть точки, расположенные по
три на двух пересекающихся прямых, и отличные отточки пересечения этих прямых; тогда, если CB' параллельна ВС' и CA' параллельна АС, то и BA' параллельна AB'.
Для доказательства этого предложения введем прежде всего следующие
обозначения: в каждом прямоугольном треугольнике (ч?рт. 17) катет а, очевидно, однозначно определен гипотенузою с и углом при основании а, заключенным между а и с; мы изображаем это кратко
а = ас,
так что символ ас всегда обозначает определенный отрезок, коль скоро с есть произвольно данный отрезок и о -произвольно данный острый угол.
Пусть теперь с обозначает произвольный отрезок и а, ? — два произвольных острых угла: мы утверждаем, что всегда существует конгруэнтность отрезков
a?c^- ?nc,
так что символы а, ? допускают перестановку -).
Черт. 17.
*) F. Schur в Math. Ann. Bd. 51 дал интересное доказательство теоремы Паскаля, основанное на плоскостных и пространственных аксиомах I — III. J. Hj elm sie v'y удалось потом—так как он опирался на результаты, добытые G. Hessenberg'oM (Math. Ann. Bd. 61)—доказать теорему Паскаля только на основании плоскостных аксиом I — III („Neue Begrundung der ebenen Geometrie", Math. Ann. Bd. 64). Cp. III прибавление к немецкому изданию настоящего сочинения.
§ 14. Доказательство теоремы Паскаля.
35
Черт. 18.
Чтобы доказать это утверждение возьмем отрезок с=AB (черт. 18) и отложим по обеим его сторонам от точки А соответственно углы а и ?. Затем, опустив из В чна другие стороны этих углов перпендикуляры ВС и Bi), соединим С с D и, наконец, опустим из точки А перпендикуляр AE на CD.
Так как JL Af В и Л ADВ прямые, то четыре точки А, В, C,D лежат на одной окружности, и поэтому оба угла JL AGD и JL ABD, как вписанные и опирающиеся на одну и ту же хорду AD, взаимно конгруэнтны. Теперь, с одной стороны Л. ACD вместе с углом Л CAE, с другой стороны JLABD вместе с углом JL BAD,—составляют соответственно прямые углы, и, следовательно, углы JL CAE и JLBAD взаимно конгруэнтны, т. е.
JLCAE= ?
и потому
JLDAE= а.
Мы получаем Tenegb непосредственно конгруэнции между отрезками
?c = AD . CiC=AC