Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гильберт Д. -> "Основания геометрии" -> 23

Основания геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии — Петроград-книгоиздательство Сеятель, 1923. — 152 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovaniya-geometrii.djvu
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 64 >> Следующая


a?c =¦ a (AD) = AB j ?ac = 3(AC) = AE,

откуда вытекает правильность вышеустановленной конгруэнции.

Вернемся теперь1 к чертежу для теоремы Паскаля. Обозначим * точку пересече ния обгих прямых буквою О, отрезки OA, OB, ОС, OA', OB', ОС, CB', ВС, AC, CA', BA', AB'—соответственно через а, Ь, с, а', Ь', с', I, V'', т, »н*, п, м*. Опу.

36

Глава HI. Учение о пропорциях.

стим затем из точки О перпендикуляры на /, ш% п\ пусть перпендикуляр, опущенный на I составляет с обоими прямыми OA, OA' острые углы //, )., а перпендикуляры соответственно на т и и пусть составляют с прямыми OA и OA' острые углы /t', /t и соответственно /, v. Выражая теперь данным выше приемом каждый из этих трех перпендикуляров двояким образом с помощью гипотенуз и углов при основании в соответствующих прямоугольных треугольниках, получим следующие три конгруэнции между отрезками:

(1) W'=)!'с,

(2) /її а' = /.і'с,

(3) VaT=M.

Так как по предположению / параллельна V" и т параллельна wi% то перпендикуляры, опущенные из О на V" и ш, совпадают соответственно с перпендикулярами, опущенными на I и т*, и мы получаем таким образом:

(4) кс' = /.'Ь

(5) [іс' = ц!а.

Применяя к обоим сторонам конгруэнции (3) символ 3) и, принимая во внимание выше доказанное переместительное свойство указанных символов, получаем

v).'[.ia'=tf fi/.'h.

Из этой конгруэнции, пользуясь для левой части конгруэнциею (2) и для правой части конгруэнциею (4), получаем

1•'/.'1.IC= v'u/.c' или '

VfIс = v'?4ic.

Принимая затем во внимание для левой части конгруэнцию (1) и для правой части конгруэнцию (5), получаем

vfi'Ab' = v'/./Li'a или г (

Xp!vV =).1.1'v' а.

Из последней конгруэнции, принимая во внимание значение наших символов, заключаем сразу

и vO = и V а

и затем

(6) vi'= V а.

§ 14. Доказательство теоремы Паскаля.

37

Если обратимся теперь к перпендикуляру, опушенному из О на її, и опустим [на него перпендикуляры из точек А и В', то конгруэнция (6) покажет, что основания обоих последних перпендикуляров совпадают, т. е. прямая п~ = AB' перпендикулярна к прямой, перпендикулярной к п, и, следовательно, параллельна п. Этим доказана теорема Паскаля

В последующем, для обоснования геометрии, нам понадобится исключительно тот частный случай теоремы Паскаля, в котором имеет место конгруэнция отрезков

OC= OA',

а, следовательно, также OA = OC

В этом частном случае доказательство особенно просто, а именно ведется следую щимо бразом (черт. 20):

Откладываем на OA' от точки О отрезок OB до точки ТУ, так что соединяющая прямая BD' буцет параллельна прямым CA' и AC Вследствие конгруэнтности треугольников OCB и OAD' будем иметь

(It)

OCB = <?. OAD'.

Так как по предположению CB' и ВС взаимно параллельны, то (2-;-) OCB =r OB С;

из (г;-) и (2f) получаем

^OAD' ^ZJOB'C;

но тогда, согласно учению об окружности, ACD1B' есть четыре-угольник, вписанный в окружность, и, на основании известной тео-

S

38

Глава III. Учение о пропорциях.

ремы об углах в четыреугольнике, вписанном в окружность, "имеет место конгруэнция

(3t) ^ OD'C= Л OAB';

с другой стороны, вследствие конгруэнтности треугольников OD'C и OBA', также

(4-г)

^OD'C=^LOBA'\

из (ЗУ) н (4т) получаем

^LOAB' = ^1OBA', s

и эта конгруэнция показывает, что А В' и BA' взаимно параллельны, как этого требует теорема Паскаля.

Если даны какая-либо прямая, точка вне этой прямой и какой-либо угол, то, очевидно, можно отложением этого угла и проведением параллельной найти прямую, которая проходит через данную точку и пересекает данную прямую под данным углом. Основываясь на этом,, мьі можем, наконец, применить к доказательству общей теоремы Паскаля следующий прлгтой прием, которым я обязан одному стороннему сообщению (черт. 21).

Проводим через точку В прямую, пересекающую OA' в точке D' под углом ОСА' так, что имеет место конгруэнция

(1*) ^ ОСА'^Z. OD'В;

тогда, на основании известной теоремы из учения об окружности, CBD А' есть четыреугольник, вписанный в окружность, и поэтому,

§ 14. Доказательство теоремы Паскаля.

39

на основании теоремы о конгруэнтности вписанных углов, опирающихся на одну и ту же хорду, имеет место конгруэнция

(2*) Z ОБА' = Л OD''С.

Так как CA' и AC по предположению параллельны, го

(3*) Z OCA=Z OAC

Из и (3s) вытекает конгруэнция „

Z OD'В = Z OAC';

но тогда и HAD'С есть четыреугольник, вписанный в окружность, и поэтому, на основании теоремы об углах четыреугольника, вписанного в окружность, имеет место конгруэнция

(4*) Z OAD' E= Z ОС В.

Так как далее по предположению GB' параллельна ВС, то имеем также

(5*) Z OB'C= Z ОС В;

из (4*) и 5*) следует конгруэнция

Z OAD'=s Z OB'С,

которая показывает, что CAD'B' есть четыреугольник, вписанный в окружность, и отсюда получается конгруэнция

(6*) Z OAB= Z OD'С.

Из (2*) и (6**) следует

Z OBA' = Z OAB',

а эта конгруэнция показывает, что прямые BA' и AB' взаимно параллельны, как этого требует теорема Паскаля.
Предыдущая << 1 .. 17 18 19 20 21 22 < 23 > 24 25 26 27 28 29 .. 64 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed