Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
2<Ч-к. р. /-;(» +А О). (2')
Покажем, что регуляризации (2) и (2') совпадают; этим и будет доказана однозначность нашего определения канонической регуляризации.
Достаточно предположить, что сумма в формуле (1) состоит из одного слагаемого p(x)q(x), так как не только регуляризация (2), но и регуляризация (2') обладает свойством 1°. Рассмотрим случай, когда q(x) — x\\ остальные два случая рассматриваются аналогично. Пусть —т—2 <С <ReX<C — т — 1. Разложим р (х) по формуле Тейлора:
т
^ (*) = 2 ^Ри) (°) + xm+1 S <*)•
7=0
Нам надо показать, что для любой основной функции ср (jc)
(*+. /К*) ?(¦*)) =
88
ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[7
Для проверки этого равенства преобразуем его левую часть:
(*+./»(¦*)?(*)) =
1* [ т 1
= J хх <р(х)<?(х) — ^~[р(х)^(х)]^\хЛс1х=^
о I k-=o J
p(f) (Q) ± xm+i s (*)
о I Ly=o
J )
S 7Г *W <0) • 2 7Г^(Л <0) j rf* =
i-0
II* ... «*
J=0
i=0
со
+ f xx+m^ s (x) cp (x) dx,
что совпадает с правой частью равенства (3).
Отметим, что мы могли бы положить формулу (2') в основу определения канонической регуляризации. В конкретных случаях можно пользоваться как формулой (2), так и формулой (20-
Рассмотрим теперь случай, когда функция /О) имеет не одну, а несколько особенностей такого же вида, как в (1), или даже счетное число таких особенностей, но конечное в любом конечном интервале. В этом случае мы воспользуемся тем, что, как будет доказано в п. 2 добавления 1, единицу можно представить в виде
со
1 =2 «.w.
где функции ^(лг) бесконечно дифференцируемы, причем каждый интервал оси пересекается с носителями *) только
*) Носителем непрерывной функции е (х) называется замыкание множества точек х, где е (х) ~=f= 0 (см. § 1, п. 4).
7]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
89
конечного числа функций ei (х) и в границах носителя одной функции et (jc) имеется только одна особая точка функции f\x). Умножая последнее равенство на f(x), мы видим, что можно исходить из представления
со
/(*) =2 А(*)?.(*). (4)
где Яг(х)—сдвиги тех же функций хх+, х\, х~п, a Pi(x) — бесконечно дифференцируемые функции, такие, что в пределах любого конечного интервала ряд (4) оказывается конечной суммой. Тогда мы снова можем положить
со
к. p. f(x) = 2 Pi (х) • к. p. qi (х), (5)
т. е.
со
(к. p.f(x), ?(*)) = 2 (к. p. qi(x), А (*) ?(¦*)); (6)
здесь уже ряд всегда будет конечным, так как основные функции финитны. Операции сложения, умножения на бесконечно дифференцируемую функцию и дифференцирования снова не выводят за пределы класса (4). Разумеется, представление (4) данной функции f(x), так же, как и представление (1), не будет единственным; но можно показать, что определение (5) не зависит от выбора этого представления.
Свойства 1°—3° проверяются без труда.
Обозначение «к. р. /(*)» в дальнейшем употребляться не будет: мы условимся обозначать каноническую регуляризацию функции f(x)— или, лучше сказать, обобщенную функцию, отвечающую обычной функции f(x),—тем же символом f.(x), подобно тому как в пп. 2 и 3 это было сразу принято для функций хх+ и др.
В частности, в соответствии с символикой, принятой в п. 3 § 1, под записью J f(x) <р(х) dx, где f(x) — обычная функция, допускающая каноническую регуляризацию, мы будем понимать результат применения этой канонической регуляризации к основной функции <р(лг).
90 гл. I. простейшие свойства обобщенных функций [7
х
о
со
= У [? ОО — <р ( — х)] ctg у dx.
В силу свойства 2° производной от этого функционала будет каноническая регуляризация функции
d . х 11
:CtgTr =--
зш2т
т. е., в соответствии с определением х~2, функционал, выражаемый формулой
1 1
2 • *х 811,2 Т
-1/
sin*-?
(снова в предположении, что ср (х) — 0 вне мал<}й окрестности нуля). Аналогично можно подсчитать следующие произвол-
ные от обобщенной функции ctg .
Пример. В п. 4 § 2 мы встретились с функцией
X ц
Ctg y • Ее можно представить при | х | < -g- в виде
х
COS тг-
sin -j
где р(лг) — бесконечно дифференцируемая функция. Аналогично записывается в окрестностях точек kit,
k=±l, ±2, ... Мы видим, что ctg допускает каноническую регуляризацию. На основных функциях, отличных от нуля лишь в малой окрестности нуля, эта регуляризация записывается следующим образом:
(ctgf, <р(*)) = <р(*)) = (!, р(х)9(х)) =
со
__у Р(*) ?(-*) —Р( — -у) у (— -у)
8]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
91
8. Регуляризация .других интегралов. В предыдущем пункте было показано, что следует понимать с точки зрения теории обобщенных функций под (расходящимся в обычном смысле) интегралом
со
J f(x)<p(x)dx,
—со
где f(x) — фиксированная функция с довольно общими степенными особенностями, а ср(х) — произвольная основная функция. В частности, фиксируя эту основную функцию, мы получаем способ вычисления конкретных расходящихся интегралов.
Однако при этом остались в стороне уже такие простые,
