Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Но если при Х = — п сравнить вычеты обобщенных функций х\ и х\, (полученные в п. 2) то видно, что особенности слагаемых справа в (3) и (4) взаимно уничтожаются; таким образом, обобщенные функции (лг-(-гО)х и (х — Ю)х — целые функции переменного X. В § 4 мы получим, в частности, формулы
(, + iO)-»ex^-i±^liMWl (х - /0)- = * - + ^{-^l];1 S(n-X) (х).
Отсутствие полюсов у обобщенных функций (дг-{-Ю)х и (х—-Ю)х можно пояснить еще и следующим образом. Предположим, что основная функция ср(х) принадлежит пространству S и аналитически продолжается в некоторую окрестность вещественной оси. Рассмотрим интеграл
J zx ср (z\dz (z = х -f- iy)
L
8
по линии Ls, которая составляется из луча (— оо, — е) вещественной оси (е > 0), полуокружности радиуса е с центром в начале, лежащей в верхней полуплоскости (мы ограничимся рассмотрением (л:-f-*0)х), и луча (е, -(-со) вещественной оси. По теореме Коши, величина этого интеграла не зависит от е. Так как на линии Z,e у подынтегральной функции нет особенностей и ср (л;) при | х | —> со убывает быстрее любой степени х, то интеграл существует при всех X и представляет собой, как легко видеть, аналитическую функцию от X. При ReX>—1 эта функция, очевидно, совпадает с функцией
со
f (х -р- Ю)х ср (х) dx;
—оо
7]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
85
таким образом, аналитическое продолжение последней не имеет полюсов.
7. Каноническая регуляризация. В предыдущих пунктах мы сопоставили ряду конкретных функций со степенными особенностями обобщенные функции (и тем самым научились вычислять многие расходящиеся интегралы). В этом пункте будет рассмотрено единое правило регуляризации, которое годится для функций, образующих уже довольно обширный подкласс в классе функций со степенными особенностями. Для удобства мы назовем эту регуляризацию канонической и введем временно обозначение
/ = к. р. /О)
(/ — функционал, являющийся регуляризацией функции f(x)). Мы покажем, что эта каноническая регуляризация является естественной в том смысле, что выполняются условия:
1°. к. p. [a1/i(x)-|-e2/'a(Jf)]=ai к. р. А(х)-^-а2 к. р. /2(лг).
d
d
к. Р- I^/OO =Й-ЛК- Р-
dx
Здесь слева ^ — производная от функции в обычном смысле, а справа — производная от функционала.
3°. к. р. [А (*)/(*)] = h(x) ¦ к. p. /(*) для любой бесконечно дифференцируемой функции h (х).
Рассмотрим сначала функции, имеющие неинтегрируемую особенность только в одной точке х = 0.
Ограничимся функциями, представимыми в виде конечных сумм
f(x) = ^pi(x)qi(x), (1)
где pi (х) — бесконечно дифференцируемая функция, a qt (х) — одна из следующих функций: х\, х\, х~п, причем параметру X не разрешается принимать значения —1, —2, . . . Всем указанным функциям сопоставлены в пп. 2 и 3 обобщенные функции, причем показано, что для этих обобщенных функций сохраняются естественные формулы дифференцирования по х. Отметим, что операции сложения, умножения на бесконечно дифференцируемую функцию
86 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [7
и обычного дифференцирования не выводят за пределы класса (1).
Так как для обобщенных функций определены операции умножения на бесконечно дифференцируемую функцию и сложения (см. § 1), то мы сразу получим искомое правило регуляризации функции f(x), подставив справа в (1) вместо qi(х) соответствующие обобщенные функции.
Таким образом, канонической регуляризацией функций
хх+, х\, х~п мы будем считать соответствующие обобщенные функции, определенные в пп. 2 и 3, а каноническую регуляризацию функции f (х) определим формулой
к. p. /W = EftW'K. p. gi(x). (2)
Так как, в частности, [ jc |° = 1» то канонической регуляризацией бесконечно дифференцируемой функции мы считаем отвечающий ей регулярный функционал.
Очевидно, что условия Iе и 3° выполняются. Проверим условие 2°. Достаточно сделать это в случае одного слагаемого, т. е. когда
f(x)=p(x)q(x).
Для удобства обозначим символом ^ дифференцирование
в смысле обобщенных функций и штрихом обычное дифференцирование. Согласно формуле (3) п. 1 § 2
^к. p. f(x)=p'(x) • к. p. q(x)-^p(x)~K. p. q(x).
Но, как уже отмечено,
^ к. p. q (х) = к. p. q' (я),
и, пользуясь условиями 1° и 3°, мы получаем:
_^к. р./0) = к. p. [/W?W+p(Jt)?'W]=K. р. /''(х).
Но возникает вопрос, однозначно ли наше определение канонической регуляризации. Покажем, что это определение действительно однозначно. Для этого заметим, что, разлагая бесконечно дифференцируемые функции Рг(х) по
7]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
87
формуле Тейлора, мы можем представить /(jc) в виде конечной суммы:
/(*) = 2 <V« (*)+*'(¦*). (10
где rf (jc) — снова одна из функций jc+, xL, х~п (только X принимает, вообще говоря, другие значения), с% — уже постоянные множители, a A (jc) — локально интегрируемая функция. Предположим, что в сумме 2 ciri (х) «приведены подобные члены» и оставлены лишь те г4 (х), у которых ReX^—1, а остальные отнесены в h(x). Тогда представление (1') будет однозначным, так как разные слагаемые имеют разные порядки при jc->0. По формуле (1') естественно написать регуляризацию
