Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
2
Q.
•r(-i+i)
=1(4 №
Л = — г»
10. Разложение функции гх на плоские волны. Пусть a) = ((ot, со2, .... а)га)—точка единичной сферы в пространстве Rn: Пусть ReX>—1; построим обобщенную функцию ("h^i-Ь . • . ~{-<*>пхп) по формуле
(Fx (<оЛ +-...+ шя*я). ср (х) ) = fl^Xl+(^iyeu]X 9 (*>
Г(~2~)
(1)
Совершая поворот осей у = их, при котором точка w приобретает координаты (1, 0, .... 0) и полагая ф(_у) = = ср (и-1у) = ср (х), мы преобразуем этот интеграл к виду
СО
/ -Мтт{ f (2)
со 1 (^—2— J I»,.....Уп J '
10]
§ • 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
103
Выражение в фигурных скобках есть некоторая функция <PoCvi)> бесконечно дифференцируемая и финитная, т. е. основная функция переменного ух. Но в таком случае выражение (2) может быть аналитически продолжено на все значения X; вместе с ним определяется для всех X и функционал Fx («ол + • • •
Легко видеть, что функционал /7х(шЛ+ ••¦ -\-шпхп) непрерывно зависит от точки о>. Действительно, вместе с точкой а) непрерывно меняется подпространство, ортогональное к вектору оо, непрерывно меняется интеграл от функции <J> (у) по этому подпространству и, следовательно, непрерывно меняется функция ср0 (^i); более того, она меняется непрерывно в смысле сходимости в основном пространстве К. Поэтому при каждом фиксированном X непрерывно меняется величина (Fx (<"i^i -f- • . . -\-шпхп), ср(лт)), что и означает непрерывность функционала Fx по параметру ш (ср. § 1, п. 8).
Поэтому можно проинтегрировать функционал F\ по параметру о>, пробегающему единичную сферу 2, т. е. построить такой функционал Gx, что для любой основной функции ср (дг)
(Ох, ?(*))= J(FX, <р(*))*о
2
(подробнее об интегрировании по параметру см. в добавлении 2).
Вычислим этот интеграл вначале для ReX^>—1. В этом случае, как легко видеть,
j I *>iXi -h . . . -Н ^пХп |Х rfco 2
есть сферически симметричная функция от xlt хг.....хп,
однородная степени X, и с точностью до множителя равная гх. Иными словами,
/1 <°iXi -h • • • -Н °>п*п \ld<a=C (я, X) г\ (3)
2
Чтобы найти значение постоянной С(/г, X), положим лг,г=1,
104 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
2 Г
(^•—^—-) f получаем формулу
п
~ 2
-"- / [«о^Н- ... -|-<u„xw | * </ш = . , (4)
основную для дальнейшего. Эта формула, установленная для ReX>—1, остается справедливой и при остальных значениях X в силу единственности аналитического продолжения (см. добавление 2). Она дает разложение функции
—7т—|- на так называемые «плоские волны» и тем самым,
как будет показано ниже, часто позволяет сводить пространственные задачи к плоским и одномерным.
*) Для вычисления интеграла переходим к сферическим координатам 01( 9а, вп_1. При этом
<оп — cos en-it a dw = slnw-2 Эй-! da>n..b
где d<on_1—элемент поверхности сферы в (л—1)-мерном пространстве. Интеграл приобретает вид
тс n—1 2Qn_! / Sin»-2 6 COS* В fif6 = - 4 7
о Г
поскольку
Г 1~] •
х1 — х2= ... = хп_х = 0. Мы получим тогда*)
Г1~2—)
Подставляя значение С (я, X) в формулу (3) и деля на
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
105
Рассмотрим частный случай этой формулы при Х=—п. Если п нечетно, то по формуле (3) п. 5
(Чг)
(-1)' \„*_{v »'¦—'<*)¦
Х = —П
С другой стороны, по формуле (9) п. 9 2г*
•04-")
= 2nS (jclf х2, .... лгй),
Х= —п
где Qn — площадь поверхности единичной сферы. Подставив эти значения в формулу (4) и разделив обе части равенства на 2„, получаем:
& (Х±.....хп)-
(_1)5f1(?+)!
га-1 . 2
(п—1)1Q„ 2
В пространстве нечетного числа измерений
я га—1
о _ 2д 8 _ 2 (2д)~2~ w ' ^ 1 • 3 • 5 ... (л — 2)
(т)
Подставляя это значение Qn и упрощая коэффициент, находим окончательную формулу:
Ь(х1г .... xj=<-l) * A(»-4(ffll^+...4fflA)^ (5)
Выведем теперь формулу, дающую разложение S-функ-ции на плоские волны в пространстве четного числа измерений. Правая часть формулы (4) по-прежнему при
к— — п обратится в Qnb(xt.....хп). С другой стороны,
при четном п
\х\х 1
106 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [10
где выражение х~п определено формулой (5) п. 3. Подставляя эти значения в (4), мы получаем, что при четном п Ъ(хх,---- хп)
+ • • • Н- V»)"" dm.
п
2ъ 2
Вспоминая, что 2W ——у—г-, мы получаем, что в случае
(т)
четного п
п 2
2
(6)
Для пояснения формулы (5) применим обе части равенства к функции <о (хи х2, .... хп). Мы получим:
п-1
?(0.....0) = Ь^_1 fdia Г .,xn)d
2 Е<«^=о
где da0 — элементарная площадка в плоскости 2a)fcAr&=0,
а ^--дифференцирование по направлению ортогонального
к ней вектора ш. Аналогично можно записать формулу (6). Положим для основной функции <?(х)
ф(|, ш) = ф(5)= j <p(jc,......Jcjrf'e.
где rfc5 — элементарная площадка в плоскости ^и>кхк— % (величина этого интеграла зависит от направления вектора to). Очевидно, что ф (?)— бесконечно дифференцируе-
