Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
у«) _|-а,у«-1> 4- . . . -4-ату =/. (9)
где — бесконечно дифференцируемые функции, а / — произвольная обобщенная функция, сводится к системе вида (8) при помощи подстановки
Ух—У, — .....Ут-i— dx •
Следовательно, отыскание общего решения уравнения вида (9) также сводится к решению уравнений вида (6).
7. Дифференцирование в пространстве S. Мы ввели в конце первого параграфа новое основное пространство S.
функцией ср однозначно сопоставим ее «проекцию» ср0 на подпространство Ф0. Полагаем теперь
(«о. ?)=(?. <Ро). (7)
Легко проверить, что построенный функционал g0 линеен и непрерывен. Общее решение уравнения (7) получается прибавлением к найденному частному решению общего решения однородного уравнения, которым, в силу сказанного в начале этого пункта, является gx = С = const.
Итак, все решения уравнения (6) описываются формулой
где функционал g0 задан формулой (7).
Отыскание общего решения неоднородной системы
64 гл. I. простейшие свойства обобщенных функций [1
Это пространство состоит из бесконечно дифференцируемых функций ср (л:), удовлетворяющих неравенствам вида
1**<Р(а)(*)|<С*« ? = 0. 1. 2, ...).
Мы видели, что совокупность линейных непрерывных функционалов S', определенных на пространстве S, есть подпространство пространства К' линейных непрерывных функционалов на пространстве К.
Покажем, что операция дифференцирования не выводит функционал f ? S' из этого подпространства. Ограничимся для простоты случаем одного независимого переменного. Заметим сначала, что для всякой функции ср (х) ^5 ее производная ср' (л:) также лежит в S и из сходимости cpv —> О в 5 следует также сходимость ср' (х) -> 0 в S. Поэтому функционал /', определенный по формуле
(/'. ?) = — (/. ?').
снова является линейным непрерывным функционалом на 5.
Но очевидно, что в пределах основного пространства К он совпадает с производной функционала / в указанном выше (п. 1) смысле. Иными словами, производная /' функционала /, понимаемая как функционал на К, распространяется на пространство 5 вместе с функционалом /, что и утверждалось. Распространение этого результата на высшие производные и на случай нескольких переменных не требует особых пояснений.
Мы указали выше, что все регулярные функционалы, отвечающие функциям степенного роста, распространяются с пространства К на пространство S. Теперь мы видим, что тем же свойством обладают и производные таких функционалов. Во втором выпуске (гл. II, § 4) мы увидим, что всякий линейный непрерывный функционал на S есть результат применения некоторой дифференциальной операции к функции степенного роста.
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СО СТЕПЕННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
1. Постановка вопроса. Из функций, имеющих неин-тегрируемые особенности в отдельных точках, наиболее* важны функции со степенными особенностями, т. е. растущие при приближении х к особой точке х0 не быстрее
11
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
65
некоторой степени
1
. В этом параграфе для широ-
кого класса таких функций будут построены отвечающие им обобщенные функции.
Напомним определение регуляризации, данное в п..7 § 1. Регуляризацией интеграла
или регуляризацией функции fix), имеющей, вообще говоря, точки локальной неинтегрируемости, мы назвали функционал /, который для основных функций ср(х), равных нулю в окрестности особых точек функции fix), выражается интегралом (1). В п. 7 § 1 было Показано, что функция fix) со степенными особенностями (в точках, число которых конечно в каждой конечной области) обладает регуляризацией. При этом регуляризация определена с точностью до прибавления функционала, сосредоточенного в особых точках функции fix).
С этой точки зрения содержание большей части этого параграфа можно описать следующим образом. Для широкого класса функций одного переменного со степенными особенностями будет указана регуляризация, естественная в следующем смысле: сумме двух обычных функций отвечает сумма их регуляризации; обычной производной функции— производная ее регуляризации; произведению функции на бесконечно дифференцируемую функцию h (х)— произведение ее регуляризации на h(x).
Но начнем мы с регуляризации конкретных, наиболее важных функций, откладывая более общие определения и полную проверку указанных свойств регуляризации до п. 7.
Примером функции со степенной особенностью может служить функция
Соответствующую ей обобщенную функцию мы фактически уже построили в примере 3 п. 2 § 2:
(1)
при х <; о,
при х > 0.
со
?) = /
о
ср (X) — <р (0)
dx.
(2)
5 Зак. 400. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I
64 гл. i. Простейшие свойства обобщенных функций [1
Это пространство состоит из бесконечно дифференцируемых функций ср (х), удовлетворяющих неравенствам вида
l**cpti)(x)|<Cftg (ft, 9 = 0, 1, 2, ...).
Мы видели, что совокупность линейных непрерывных функционалов 5', определенных на пространстве S, есть подпространство пространства К' линейных непрерывных функционалов на пространстве К.
