Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гельфанд И.М. -> "Обобщенные функции" -> 21

Обобщенные функции - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции: Учебное пособие — М.: Гос. издат. физ-мат. литературы, 1959. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): math0206.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 125 >> Следующая


Покажем, что операция дифференцирования не выводит, функционал f ? S' из этого подпространства. Ограничимся для простоты случаем одного независимого переменного. Заметим сначала, что для всякой функции ср (х) ^5 ее производная <?'(х) также лежит в S и из сходимости cpv —> 0 в 5 следует также сходимость ср' (л:) -> 0 в 5. Поэтому функционал /', определенный по формуле

(/', ср) = -(/, ср'),

снова является линейным непрерывным функционалом на S.

Но очевидно, что в пределах основного пространства К он совпадает с производной функционала / в указанном выше (п. 1) смысле. Иными словами, производная /' функционала /, понимаемая как функционал на К, распространяется на пространство 5 вместе с функционалом /, что и утверждалось. Распространение этого результата на высшие производные и на случай нескольких переменных не требует особых пояснений.

Мы указали выше, что все регулярные функционалы, отвечающие функциям степенного роста, распространяются с пространства К на пространство S. Теперь мы видим, что тем же свойством обладают и производные таких функционалов. Во втором выпуске (гл. II, § 4) мы увидим, что всякий линейный непрерывный функционал на 5 есть результат применения некоторой дифференциальной операции к функции степенного роста.

§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ СО СТЕПЕННЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ

1. Постановка вопроса. Из функций, имеющих неин-тегрируемые особенности в отдельных точках, наиболее* важны функции со степенными особенностями, т. е. растущие при приближении х к особой точке л:0 не быстрее

i]

§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ

65

некоторой степени

1

. В этом параграфе для широ-

| X — xQ |

кого класса таких функций будут построены отвечающие им обобщенные функции.

Напомним определение регуляризации, данное в п.. 7 § 1. Регуляризацией интеграла

или регуляризацией функции f(x), имеющей, вообще говоря, точки локальной неинтегрируемости, мы назвали функционал /, который для основных функций cp(jc), равных нулю в окрестности особых точек функции f(x), выражается интегралом (1). В п. 7 § 1 было показано, что функция f (х) со степенными особенностями (в точках, число которых конечно в каждой конечной области) обладает регуляризацией. При этом регуляризация определена с точностью до прибавления функционала, сосредоточенного в особых точках функции f(x).

С этой точки зрения содержание большей части этого параграфа можно описать следующим образом. Для широкого класса функций одного переменного со степенными особенностями будет указана регуляризация, естественная в следующем смысле: сумме двух обычных функций отвечает сумма их регуляризации; обычной производной функции— производная ее регуляризации; произведению функции на бесконечно дифференцируемую функцию h (х) — произведение ее регуляризации на h(x).

Но начнем мы с регуляризации конкретных, наиболее важных функций, откладывая более общие определения и полную проверку указанных свойств регуляризации до п. 7.

Примером функции со степенной особенностью может служить функция

Соответствующую ей обобщенную функцию мы фактически уже построили в примере 3 п. 2 § 2:

(1)

при х<;о,

при х > 0.

со

(2)

о

5 Зал. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. I

66 ГЛ. Т. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. 0606Щ.ЁННЫХ ФУНКЦИЙ {1

При этом мы исходили из того, что обобщенная функция --1- х+а/' должна бить производной обобщенной функции

хХ1*, т. е. регулярного функционала, определяемого обычной

функцией , Л ^ п

ГО при х < О,

+ { х-''* при х > 0.

В § 2 мы и на других примерах видели, что аналогичные соображения часто позволяют построить обобщенную функцию, отвечающую данной обычной функции со степенной особенностью.

Другой метод получения определений типа (2)—это метод аналитического продолжения. Им мы и будем преимущественно пользоваться. Прежде чем объяснить его идею, введем следующее определение. Рассмотрим обобщенную функцию Д, зависящую от параметра X, пробегающего открытую область Л в плоскости комплексного переменного X. Эта обобщенная функция Д называется аналитической функцией от X в области Л, если в этой области аналогичны все числовые функции (Д, ср) при любой основной функции Ср.

Обобщенные аналитические функции от X по своим свойствам аналогичны обычным аналитическим функциям от X.

Так,- если определить производную функционала Д

по параметру X как предел

,. А+дх f\ ¦ lim —?—гк—-дх>о дх

(в смысле п. 8§ 1), то можно утверждать, что обобщенная функция Д аналитична по X в области Л тогда и только тогда, когда

в каждой точке этой области существует производная .

Имеют также место аналоги классических теорем о разложениях в ряд Тейлора и в ряд Лорана, об аналитическом продолжении и т. д.; они собраны в добавлении 2 к этой главе.

Идея метода аналитического продолжения состоит в следующем. Пусть дана функция ДО*)» которая локально интегрируема, когда X пробегает некоторую область Л в комплексной плоскости, и, вообще, не является таковой.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed