Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
*) Случай четного п можно было бы объединить со случаем нечетного п в единой формуле
Ь(хь ..., хп) = (П 1)1 j (0)^+ •¦• -+-<¦>»-*» — Ю) ndm (2ти) J
в силу определения функции (х — Ю)~п (см. п. 6).
11] § 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ 107
мая финитная функция. Согласно формуле (5) п. 3
со
(Гп. ф(5)) = f б"" {ф (5) Н- ф С— 5) — 2 [ф (0) -н ^ Ф" (0) н-. ..
о
Теперь можно записать результат применения формулы (6) к основной функции ср (х) в виде
п
? (°.....°) — -(2^p»- Х
X / ((">!*! + • • • + "Л)""' Ф (ШЛ + • • • + ШЛ) ) dC0. (8)
Формулы (7) и (8) дают решение так называемой проблемы Радона о восстановлении функции ср (jc) (или ф (лг)) по известным её интегралам по гиперплоскостям (со, х) = С.
П. Однородные функции. Рассмотрим теперь введенные выше обобщенные функции х\, хх_ и др. еще с новой точки зрения — именно, в аспекте понятия однородной функции. Мы определили в § 1, п. 6 однородную обобщенную функцию степени X уравнением
/(ах) ==«*/(¦*). ' (1)
или, что то же,
(/00. <р(4)') = аХ+я(/(^). ?(*))
для любой основной функции <р(*0 и любого положительного а.
Установим некоторые простые свойства обобщенных однородных функций.
1. Сумма двух однородных функций степени X есть снова однородная функция той же степени К.
2. Произведение однородной обобщенной функции f степени X на бесконечно дифференцируемую однородную функцию а (х) степени р. есть однородная обобщенная функция степени X-f-jx.
Доказательства свойств 1 и 2 получаются непосредственно применением определения (1),
\
108 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [11
3. Производная по Xj однородной обобщенной функции f степени X есть однородная обобщенная функция степени X — 1.
Действительно, мы имеем:
4. Однородные функции различной степени линейно независимы. Предположим, что имеет место равенство
Ci/i (х) -f- . . . 4- cmfm (х) = О,
где fk(x)—однородная обобщенная функция степени Xfc, причем все числа ХЛ различны. Согласно определению, при любом положительном а и любой основной функции ср (лг) имеет место равенство
^•(Л. ?)4-С2аХЧ/2. ?)4- ••• 4" Ст°^П (/»,. ?) = 0.
Так как показатели Xfc по предположению различны, то при любом k и при любой ср мы имеем ck(fk, ср) = 0. Если fk Ф 0, то функцию ср(лг) можно взять так, чтобы было (/*» ?) Ф 0> отсюда ск — 0 при каждом к, что и требуется.
5. Пусть fx — однородная обобщенная функция степени X, аналитическая, по X в области Л. Пусть, далее, fx допускает аналитическое продолжение по X в более широкую область Л^Л. Тогда функционал /л и в более широкой области At остается однородным степени X.
Действительно, при любом фиксированном X и любой основной функции ср (дг) в области Л выполняется равенство
(Д. <?(-т)) = *х+п(А. <р).
Справа и слева стоят аналитические в области Л функции от X. В силу единственности аналитического продолжения, они совпадают и в области что нам и требуется.
Рассмотренная в предыдущих пунктах обобщенная < функция х\. при ReX>—1 является однородной функцией степени X. Далее, мы знаем, что функция хх+ допускает ана-
И]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
109
литическое продолжение во всю плоскость X с исключенными точками —1, —2, ... В силу свойства 5 функция хх+ является однородной функцией степени X при всех комплексных X Ф—1, —2.....—п..... То же относится
к функции Xх.. Функции |дг]х, |je|xsgnA;, (x-\-i0)x, (х — toy, как линейные комбинации функций х\ и х\, также однородные функции степени X; при этом каждая из них однородна в полной области своего существования: функция | х |х
однородна при X Ф—1, —3, —5.....функция |.xr|xsgn.*;
однородна при X Ф—2, —4..... функции (лг ^0)х и
(л: — Ю)х однородны при всех X без исключений. В частности, обобщенная функция х~т однородна степени —т при любом целом т. Имеется еще одна однородная функция степени —от, именно Ы™-1) (х); действительно,
(•<-"«. ,ф) = <-1Г-'-1^-
= а-»*1 (8<"»-Ч (х), <f (х) ).
Найдем все однородные обобщенные функции порядка X на прямой. Согласно определению такие функции удовлетворяют уравнению
f(ax) = <xxf(x) (2)
при любом а > 0. Дифференцируя это соотношение по а и полагая затем а=1, получаем:
xf'(x) = \f(x). (3)
Найдем все решения этого уравнения. При х Ф 0 можно интегрировать обычным образом; это приводит нас к выводу, что искомая обобщенная функция f(x) должна совпадать с Сххх при х > 0 и С2 j х |х при х < 0. Такого рода обобщенные функции имеются уже у нас: это функции СуХ1^. и С2хх_ при X Ф —п, п= 1, 2, ... Предполагая, что эти неравенства выполнены, рассмотрим обобщенную функцию /о(х)—/(х) — С\.х\— С2х\. Она вместе с каждым слагаемым удовлетворяет уравнению (2) и в то же время равна нулю при х Ф 0. Таким образом, функция /0(лг) сосредоточена в одной точке.
Во втором выпуске будет доказана следующая теорема, которую мы сейчас примем без доказательства. Если
1
ПО ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ fll
