Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
о
(лД, ср) = J*| x|xcp(x)tfx. (6)
—со
Этот функционал можно продолжить в полуплоскость ReX^—1 таким же образом, как х\. При этом проще всего, заменив х на —х, представить (хХ-, ср) в виде
со
(хк-, ср (х)) = j хх ср (— x)dx = (х+, ср (— х)).
о
Это позволяет немедленно перенести все результаты, полученные для функционала х\, на функционал х\, заменив в соответствующих формулах функцию ср(х) на ср(—х). При этом фигурирующие в формулах выражения ср(Л(0) заменятся на (—iy<p*(0).
В частности, мы видим, что обобщенная функция х\, так же как и х\, существует и аналитична во всей плоскости X, за исключением точек Х = —1, —2, ...; в точке k обобще
72 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
3. Четная и нечетная комбинации функций х\ и х\. Обобщенная функция / называется четной, если
(/(*). ?(—*)) = </(*). ?(*)).
и нечетной, если
(/(*). ?(— *)) = — (/(Х>, ?(х)).
Из введенных в п. 2 обобщенных функций составим следующие четную и нечетную комбинации:
| х|* = Д+ *-. О)
|х xx Х\ SgTlX=:X+ - jc_.
(2)
Изучим особенности обобщенных функций | х |х и 1 х \х sgn х. Так как обобщенная функция х+ имеет при
(_!>(*-!) ,fc_„
X =— ft полюс с вычетом '., сг (jc), а функция
(« — 1)!
х_—полюс с вычетом —гг-^~ , то обобщенная функция
(я — 1)!
| х |х имеет полюсы только при X =—1, —3, —5, ... —2т— 1, ... Вычет | х |х при X ==—2т—1 равен
2—,„ . В точках Х = —2т (т=1, 2, . . .) обобщенная (2т)] 4 '
функция | х \х определена; при этих X мы, естественно,
, , |— 2т —2т
будем вместо |х | писать х
Аналогично обобщенная функция | х \х sgnх имеет полюсы в точках Х=—2, —4, —2т, ... с вычетом при
g(2m-l) (jc^
Х==—2т, равным —2 ^п_\у • ПриХ=—2т—1 (/»—1,
2, . . .) обобщенная функция jx)xsgnx определена, и мы вместо [ х |-2"4-1 Sgn jc будем писать jc-2m-1. Таким образом, обобщенные функции х~п определены у нас для всех п = 1, 2, ...
Дадим непосредственные определения обобщенных функций | х |х и | л: |х sgn х. Для этого воспользуемся регуляризо-
оо О
ванными значениями интегралов j xxy(x)dx н J \ x\x<p(x)dx.
3] § 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ 73
= J хх [<p(» — ср(О) — хср'(О)
(л-1)1
cp(»-D (0)1 rfjc,
(*Х_> <Р) = / *Х [?(— *) — ?(0)-r-jc(p'(0)-
(-1У
п— 1 „п— t
(„_!), ^--ЧО)]^. Заменяя здесь п на 2/ге, складывая и вычитая, находим:
со
(|*|\ <р) = У *Х {<? (*)-+-?(— —
о
-2 [ср (0) -4- ^ ?" (0) 4- • • • + (2^__2), ?(2w-2) (0)] } *; (3)
со
( | X |Х sgn X, ср) = J Xх | ср (X)-СО (- X)-
О
-2 [*,,' (0) 4-§ ср- (0) 4-... -f- ^2т'1] (0)]}dx-(4)
Первое разложение сходится при —2т— 1 < Re X < < —2т -f- 1. второе — при — 2/я — 2 < Re X < —2т. В частности,
со
(х~2т, 9) = f ^~2TO{cp(jc)-|-cp(— х) — о
- 2 [ср (0) + ^ <?" (0) 4- ... 4- (2г-2)1 ^(2ТО_2) (0)] } dX' (5)
ОО
(л:-2™-1, ср)= / лг-2™-1 { ср(дг) — ср(—х) — о
- 2 [*<р'(0) 4--ж 4"(0)4-... 4- {2m-i)i ?(2w_1) (°)j} d*> (6)
т. е. формулами (4) и (7) п. 2: в полосе —д—1 < Re X <—п (*+. Ч>) =
74 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
d
dx
х-п = — пх-п-К (11)
В § 4 будут приведены разложения функций | х |х и | ]х sgn jc в ряд Тейлора и в ряд Лорана.
Заметим в заключение, что функционалы хх+, xL, |*|\ |x|xsg-njc при ReX>—1 как регулярные функционалы, отвечающие функциям степенного роста, продолжаются на пространство 5 бесконечно дифференцируемых функций ср (jc),
убывающих при [ х J —> со быстрее любой степени ^ вместе
со всеми производными (§ 1, п. 10). Функционалы хх+, ... при прочих значениях X, полученные аналитическим продолжением предыдущих, также продолжаются на пространство S; это следует как из самих формул аналитического продолжения, так и из формул дифференцирова-
так что, например,
со
о
со
ix-it9) = fjtl?^l=Jldx, (8)
о
последнее выражение совпадает с главным значением по Коши интеграла от •
со { —г со \
—со ч —СО В J
Приведем еще формулы дифференцирования обобщенных функций \х*[ и | л: |х sgn х. Мы имеем:
I * I" == "Зг (*+ + *-) = Хл:+_1 - ^Х-"1 = ^ | * Iх-1 sgn (9) J-\x\xsgnx = -±(хх+ — х\) = XXх-1 + Хх^^Х| х|х-1. (10) В частности, при Х =— п получаем:
3]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
75
ния -^(^х\)~\х\ 1 и замечания в конце § 2 о том, что
функционалы на 5 допускают дифференцирование. Поэтому функционалы jc+, .. . можно применять по обычным формулам не только к финитным функциям, но и ко всем функциям пространства 5, например и т. п.
Пример 1. Гамма-функция определяется интегралом
Г(Х) = f х^е-х dx.
сходящимся при ReX>—1. Мы можем рассматривать этот интеграл как результат применения функционала jc+T1 к основной функции, равной е~х при 0 <^ х < оо (такая основная функция заведомо имеется в пространстве S). Применяя регуляризационные формулы п. 2, получаем выражение гамма-функции в области, где Re л ^—1: при ReX>— п—1, 1ф—1, —п,
