Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
со
J хх dx ф > 0). ь
Но у нас нет основной функции, равной 1 в промежутке от Ъ до оо. Поэтому мы примем следующее условие. Мы будем рассматривать класс К{Ь, оо) всех функций ср (дг), каждая из которых определена и бесконечно дифференцируема при всех x^>b п притом такова, что преобразование инверсии ^{—^ = ^(.х) переводит ее в основную функцию на интервале ^0, ; точнее, в функцию, которая совпадает на этом интервале с некоторой основной функцией пространства К. Тогда мы определяем функционал
со
. J* хх ср (х) dx
ь
1
формулой, отвечающей подстановке — = у.
оо 6
f хх <р (х) dx = f y~x-2<?(j)dy, ь о
причем получающийся интеграл, если нужно, понимается в указанном выше регуляризованном смысле; он существует, следовательно, при —X — 2Ф—1, —2, .... т. е. при Х^=—1, 0, +1, . . .
Для функции F(x), определенной в промежутке [Ь, оо) и имеющей вид F (х) = xxf(x), где f(x) — функция класса
96 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОЁОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
К(Ь, оо), примем в качестве формулы регуляризации следующую формулу:
со со
(per. F, <р) = / F (дт) <р (л:) dx = f xx[f{x)^(x)]dx. ь ь
Очевидно, что для функционала per. F, определенного на функциях у(х) класса Кф. оо), выполнены условия:
per. \<xxF^ Н-Оа^г] = «i • per. Fv -f-a2 • per. F2, per. [g (x) F (x)] = g(x)- per. F (x)
для любой бесконечно дифференцируемой функции g(x).
Перейдем теперь к самому общему случаю, когда функция F (х) имеет несколько (конечное число) степенных особенностей. Перенумеровав особенности в порядке возрастания аргумента, для определенности, — оо < by <С . . . < Ьп < со, мы разложим ось на конечное число промежутков:
I.— оо, ах), (аи &t), фи о2). Ф2, Ь2).....фп, ап+1), (ап+1, оо),
на каждом из которых остается лишь по одной особой точке на том или ином конце, в каждом из этих промежутков применим соответствующую формулу регуляризации и сложим результаты. Так же как и выше, легко показать, что общий результат не зависит от выбора промежуточных точек ах, .... ап.
Отметим, далее, что вместе с регуляризациями функции F (х) на каждом из этих промежутков полученная регуляризация на оси удовлетворяет условиям:
per. [о^/7! -\-a2F2] = <*i ¦ per. Ft -f-Оз • per. F2, per. [g (x) F {x)) =g(x)- per. F (x)
(g(x) — бесконечно дифференцируемая функция). Примеры.
¦ со
1. Найдем J xxdx. о
8] § 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ 97
7 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, иып. 1
Как отмечено выше, при b > О ь
J xxdx = ^T (Хф-1). о
С другой стороны,
со
xKdx = — (Х^=—1).
ь
Поэтому
со & со
fxxdx = f хх dх -f- f Xх dx = О (X — 1).
0 0 6
Так как результат есть аналитическая функция X, то он справедлив и в исключенной точке Х = —1.
2. Интеграл
оо
j Xх'1 (1 -\-х)'*'* dx
о
при ReX>0, Re [г > 0 сходится в обычном смысле и, как легко проверить подстановкой —.— — у, совпадает с В(Х, (х).
1 ~\~ X
Поэтому его аналитическое продолжение совпадает с В(Х, р) при всех X, р Ф —1, —2, . . .
3. Найдем
со
/= J* [(x-f-l)x— X^fdX.
О
Разлагая подынтегральную функцию по формуле бинома и применяя первое свойство канонической регуляризации, находим:
И оо
/=2<—1)ЛС*/ (х+\){п-к)ХхкЫх =
к-0 О
п
= 2<—1)*С^В(ft^-h!. к(Х — {*)'— «X—1)
л=о
в силу резз'льтата предыдущего примера.
98 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ (9
Заметим, что при Х = ;х, —-i- < X < 1—-i- интеграл /
сходится в обычном смысле; мы получаем, таким образом, следующую «классическую» формулу
со „
J [(jc+1)x — хх]п dx^=^(— 1)*С*В(АХ+1, —«X— 1)
О ft-0
9. Обобщенная функция гх. Полагая г = У х\ -(-... -4- л?, рассмотрим функционал /-х, действующий по формуле
(г\ ?)= / г* <р(х)Лс. (1)
которая имеет смысл при ReX>—га. В силу возможности дифференцирования
(ГХ, Ср) = У ГХ 1П Г ср (дг) ??ЛГ
функционал гх представляет собой аналитическую функцию от X в области Re X > — га. Для Re X ^ — га функция гЛ локально неинтегрируема; мы определим функционал гх методом аналитического продолжения. Можно это сделать, обобщая схему предыдущих пунктов (эта идея впоследствии будет рассмотрена в применении к более широкому классу функций вида Рх (дг), где Р (дг) — положительная однородная функция; см. гл. III, § 3). Мы здесь используем более простой прием, основанный на сведении функции гх к хх+.
Переходя в интеграле (1) к сферическим координатам, приводим его к виду
со
(г\ ср) == J* гх | J* ср (гш) d<a | г"-1 dr,
где d<n — элемент единичной сферы 2. Внутренний интеграл можно представить в форме
J ср (АСО) du = QnSv (г),
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
99
где 2„ означает поверхность единичной сферы в «-мерном пространстве, a S?(r) есть среднее из значений функции cp(jt) на сфере радиуса г. Итак, мы приходим к формуле
со
(r\ T) = 2MJV+«-iS9(г)*//-. (2)
о
Установим некоторые свойства функции Sv (г). Мы утверждаем, что функция Sf(r) (определенная при г^О) финитна, бесконечно дифференцируема и все ее производные нечетного порядка обращаются в нуль при г = 0.
