Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Г(Х)
е~
хЛ
при
1)*тг1** +
7с=0
п — 1 < Re X < — п Г(Х) =
Пример 2. Рассмотрим интеграл
х\ [е-ах— е~Ьх\ dx
&=0
dx.
4-Х) •
&=0
Заметим, что он является сходящимся при ReX>—2. Его можно трактовать как результат применения функционала х\ к основной функции е~аХ— е~Ьх; поэтому
j хх [е~с
> — Ьх
]dx— J х^е-®31 dx — J хке~Ьх dx,
7.6 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
[4
где каждое из слагаемых справа также есть результат применения функционала к соответствующей основной функции. Но при ReX>—1 можно совершить замену переменной ах = что дает
СО ОО
О О
эта формула остается справедливой при всех" X в силу единственности аналитического продолжения. В результате мы получаем
ОО
f хх [е-а* _ e-b»] dx = _ _у Г (х + !).
о
При Re X >—2 эта формула дает величину сходящегося интеграла в левой части. Любопытно, что мы получили ее с помощью расходящихся интегралов. Можно было бы, конечно, ее найти и обычными приемами (например, дифференцированием по параметрам а и Ь).
4. Неопределенные интегралы от функций х\, х\, \xf, | jc |л sgn лг. Так как операция неопределенного интегрирования обратна к операции дифференцирования ' (§ 2, п. 6), то при \ Ф—1, —2, ...
Х + 1
х\ dx = prr + C1(\);
J хх- dx = — -f- Сг (X);
далее, при X Ф—1, —3, —5,
и при X Ф—2, —4, —6, ... (а также при X Ф—1, поскольку при Х=—1 у нас нет соответствующей формулы для производной)
х \х sgn х dx = + С4 (X). (1)
Функции Сг(Х), С4(Х) могут быть взяты произвольно.
41
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
77
Пользуясь этой свободой выбора, мы можем найти и результат неопределенного интегрирования х-1 — \ х |-1 sgn х предельным переходом. Первое слагаемое правой, части формулы (1) имеет при Х =—1 полюс с вычетом 1. Положим С4(Х) =--x.-f-1 тогда правая часть будет
допускать аналитическое продолжение в точку Х =—1 и по непрерывности формула интегрирования сохранит свой смысл. Таким образом,
при X
х |х sgn х dx = ^ х ^ 1 1 -j- С;
hm -—\—r--;— = ln|jf
и, следовательно,
J* x-idx = \n\x\~t-C. (2)
Можно сосчитать также и повторные интегралы от указанных функций. Так, ^-кратный интеграл от \х\г имеет вид
Г С I х Iх dх'7 - ' |xlx+g(sgnx)g
(3)
где Q\ (х)— произвольный полином от х степени < q.
Подынтегральная функция слева имеет полюсы в точках
I х }x+q (sen x)q
л = —1, —3, .... Функция (Х + 1) ... . кР°ме "их,
имеет полюсы в точках Х = —2, —4, |Х|^д. Есте-
ственно устранить последние за счет специального выбора полинома Qi(x). Так как вычет первого слагаемого правой части при Х =—2k (2к < q) равен, очевидно,
_ _| х\~2к+<1(щп x)q__
( — 2k + 1) ( — 2k -j- 2) .... ( — 1) • 1 ¦ 2 ... ( — 2k + q)
¦xl-2"
{2k — 1)1 (q — 2k)\ '
'78 гл. i. Простейшие свойства обобщенных функций [S то для этого можно положить
(2А —1)!(^ —2А)! Х + 2?
(можно было бы еще добавить к Q\(x) произвольный полином от х степени < q, аналитически зависящий от X). Итак,
я.
_ | X t+q (Sgn X? Y Х~**+*__1_
(X + l) ... (X + ?) ' ^ (2k—\)\(q—2k)\ l-j-2fc' w В частности, двукратный интеграл записывается в виде
II
I \ХИ 2_ \Х\Х+2 , 1
1*1 а* — (х + щх + г^Т+Т
5. Нормировка функций дг+, х\, \х\х, \x\xsgnx. Функции х\, хх_, \х\х, \x\xsgnx, как мы видели, имеют в Х-плос-кости полюсы 1-го порядка. Естественно попытаться устранить их, разделив каждую из этих функций на обычную функцию от X, имеющую полюсы 1-го порядка в тех же точках. Такую функцию от X проще всего построить, применив интересующую нас обобщенную функцию (х+ и т. д.) к фиксированной основной функции f0(x). При этом мы воспользуемся тем, что, как сказано в конце п. 3, функционалы х\, х\, | х |\ \x\Xsgnx продолжаются на пространство 5; это позволяет брать в качестве <р0(->с) функции из 5.
Рассмотрим функцию х\. Она имеет полюсы в точках
(— l)"-1 s^-1) (х)
—1, —2,... с вычетом в точке — п, равным--'—т--——-.
* (п— 1)!
Основная функция ср0(лО должна быть такой, чтобы вычеты
функции {хх+, <?0(х)) от X в точках —1, —2, ... были
отличными от нуля. Это значит, что у функции ср0(х) должны
быть отличны от нуля все производные при х == 0.
б]
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
В качестве такой функции <?0(х) естественно1 взять е~х, что приводит к нормирующему знаменателю
со
(х\, е~х) = J x*e-*dx = T(k-\>- 1). о
Аналогично подбираем нормирующие Знаменатели для Обобщенных функций х\, |х|х и | х |х sgn х. Для функции x*L нужно функцию <?о(х) взять снова такой, чтобы ее производные при х = 0 были бы отличными от нуля; естественно положить ср0(х) = ех, так что
О со
(хх_, = f\xfexdx = J* ххе~х dx = Г(Х-{- 1).
-со О
Функция |х|х имеет полюсы в точках —1, —3, .... и ее
2&(2ш) (х)
вычет в точке Х =—2т— 1 равен *—(2т)1 ' поэтОМУ Функцию <ро(*) следует выбрать так, чтобы ее четные производные при х = 0 были отличными от нуля. Естественно положить ср0 (х) — е~х*, так что нормирующий знаменатель приобретает вид
