Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ь со
но важные интегралы, как J xxdx и J*xxdx (первый из этих
о о
интегралов расходится при ReX<^—1, второй — при всех X), и многие другие. В этом пункте мы постараемся придать таким интегралам естественный смысл.
Регуляризация в конечном промежутке. В предыдущих пунктах мы рассматривали функционалы, определяемые функциями х\, х\, х~п на полупрямой или на всей прямой. Можно рассматривать функционалы, определяемые интегралами по конечному отрезку, как, например,
ь
(XUx<b' ?) = / *<f(x)dx. (1)
о
Мы взяли здесь отрезок 0 ^ х ^ b как наиболее типичный: на нем имеется одна точка возможной расходимости, причем концевая (х = 0). Случай отрезка а ^ х ^ Ь, на котором нет особых точек, не представляет интереса; если же точка расходимости находится в середине отрезка, то мы разобьем его на два отрезка так, что каждый из них будет иметь точку расходимости на конце.
Итак, рассматриваем интеграл (1). Он сходится при ReX>—1 и представляет собой при этом аналитическую
92 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
функцию X. Совершая преобразование ь
Xх ср (х) dx
Ь
О
хп-\
cp(*-i) (0)J rfjc-4-
-1- срС"-1) (0)
(n-l)l (Х+л) 1
(2)
мы видим, что наш интеграл как функция от X аналитически продолжается во всю плоскость X, за исключением
значений Х = — 1, —2, —я.....где он имеет полюсы
1-го порядка. Формулу (2) мы примем за определение регуляризации стоящего слева интеграла при X Ф —-1, —2, . . . Обозначим этот функционал через х\<х<ь.
В качестве ср(х) здесь можно фактически брать любую бесконечно дифференцируемую при 0 <^ х ^ b функцию, так как такую функцию всегда можно продолжить за точки 0 и b так, чтобы получилась финитная бесконечно дифференцируемая функция.
Возьмем, в частности. <рОс)==1 при 0 ^ х ^ Ь. Мы получим равенство
справедливое при всех X Ф—1, —2, ... Излишне указывать, что интеграл в левой части здесь понимается (при ReX.^—1) не в обычном смысле, а как регуляризованный по нашему правилу *).
Рассмотрим теперь любую функцию f(x) вида
ь
(3)
о
f хх р (х) при о < х <; ь, [ 0 при остальных х,
(4)
*) В данном случае правая часть, а вместе с ней и левая имеют единственную особенность при X — — 1.
81
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
93
где р (л:) — бесконечно дифференцируемая функция. По аналогии с п. 7 мы рассмотрим регуляризацию функции f(x), определяемую формулой
(per. /О), <р (*)) = (л$<в<ь. Pi*) ?(.*))• (5)
Следующее замечание будет полезно в дальнейшем. Справедливое при Re X > — 1 равенство ъ с ь
J* хх ср (х) dx = J хх <р (х) dx -\- J хх у (х) dx, (6) о о с
где 0 < с < 6, сохраняется при всех \ф —1, —2, если под первыми двумя интегралами понимать указанные выше регуляризации. Действительно, все три интеграла допускают независимые аналитические продолжения в полную плоскость X с исключенными точками —1, —2, причем последний интеграл существует даже при всех X в обычном смысле, и равенство (6) сохраняется в силу теоремы единственности.
Теперь рассмотрим функцию f(x) со степенными особенностями в точках а и Ь, так что в окрестности точки а имеет место представление
f(x) = (x — a)Xpa(x),
а в окрестности точки b — представление
f(x) = (b — xfpb (х),
где ра(х) и рь(х) — бесконечно дифференцируемые функции, первая — в интервале а^х<С.Ь, вторая :—в интервале а < х Ъ. Определим теперь регуляризацию функции fix), т. е. интеграла
ь
ff(x)9(x)dx.
а
равенством
ь с ь
j f (х) ср (х) dx = j f (х) ср (x) dx 4- Jf (x) cp (x) dx,
а а с
где с — точка между а и Ь, а интегралы справа определены как соответствующие регуляризации.
94 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [8
Результат прежде всего не зависит от выбора точки с. Действительно, если с' >> с — любая другая точка на отрезке [а, Ь\, то, по сказанному выше,
с'
с'
J* f(x)<?(x)dx = j f (х) у (х) dx-\- j" f(x)<?(x)dx,
а а с
Ь С Ь
/ f(x)<?(x)dx= j /(*)?(*)</*-+- f f(x)?(x)dx
и, следовательно,
с'
с'
f f(x)<?(x)dx + ff(x)<?(x)dx = / + f + J" = J-hJ" .
а с' о с с' a с
что и требуется.
В качестве примера рассмотрим В-функцию Эйлера
1
В(Х, = f xx~l(l—xf-] dx.
Этот интеграл сходится в обычном смысле при ReX>0, Re [л > 0; по доказанному, он аналитически продолжается во всю плоскость X и во всю плоскость [л, кроме значений Х = (), —1, —2, .... и [i = 0, —1, —2, ... Формула регуляризации при ReX>—k, Re jj, ;>—s имеет вид
В
<*.,)-/V" (i_*r--?(-!)'^?^5 ,«+.
dx -j-
^ 2Г+Л г! Г (p. — ,-) (r -f X) ^ 2r+iJL г! Г (X — r) (,
r*=o
Г=0
81
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
95
Регуляризация на бесконечности. Выше мы придали смысл интегралу
ь
J* хх dx
о
при всех X Ф—1, понимая его как результат применения функционала -хх<х<ь к основной функции <р(лг), равной 1 в промежутке 0 ^ х ^ Ь. Было бы желательно осмыслить подобным образом интеграл по бесконечному промежутку
