Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
1] § 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ 67
х , 0 при х О, сх при х > 0.
Для ReX>—1 она определяет регулярный функционал
со
0+> cp) = /^cp(x)rfx. (3)
0.
Числовая функция (3), очевидно, аналитична по X: она имеет производную по X, равную
со
J* Xх In хер (х) dx.
о
Правую часть формулы (3) перепишем в виде
-1 со
f хх[ср(х) —cp(0)]dx4- f xxcp(x)rfx4-^\. -
Первое слагаемое определено для ReX>>—2, второе — для любых X, третье — для X Ф—1. Следовательно, функционал (3) аналитически продолжается на область ReX>—2,
5*
когда X Находится вне области Л. Пусть, далее, при Х?Л и любой основной функции <р(х) числовая функция (Д, ср) аналитична в области Л и может быть аналитически продолжена в некоторую более широкую область Лх, не зависящую от выбора ср (х). Тогда с функцией Д, (х) при Xq^Aj—Л мы можем сопоставить функционал (Д., <р)> п0" лучаемый аналитическим продолжением функционала (Д, ср) из области Л; иными словами, мы полагаем
Г А, 0*0 ? (¦*) rfx = анал. прод. Г Д (х) ср (х) dx.
Например, чтобы определить обобщенную функцию х+^ш, мы рассматриваем функцию
68 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОВОбЩЁННЫХ ФУНКЦИЙ [2
X Ф—1. В частности, при Х = —3/2 получаем:
\х+'\ ?(*)) =
1 со
= J х-ч* [ср (х) — ср (0)] dx-\-f *-'/. ср {х) dx — 2ср (0). (4) 0 1
Правая часть формулы (4) совпадает с правой частью формулы (2), так как вообще
со
1
Разумеется, при ином вводе параметра аналитическое продолжение может привести к совершенно иному результату. Например,
<+Тх*+1*+*м-*<,' + Ь{х) при х^-3/з
(см. § 2, п. 5).
Подчеркнем, что тот или иной метод, приводящий к определениям типа (2) или (4), играет для нас второстепенную, вспомогательную роль; он представляет собой лишь средство, тогда как цель — это сами определения, которые, как формулы (2) или (4), имеют смысл и вне всякой связи с этим методом,
2. Обобщенные функции х\ и хХ-. Рассмотрим функцию х\, равную хХ при х>0 и 0 при дг^О. Мы хотим построить и изучить отвечающую ей обобщенную функцию. Как уже сказано в предыдущем пункте, регулярный функционал
со
<p) = J xx<?(x)dx, (1)
6
-определяемый функцией лД. при Re X >—1, продолжается на область ReX>—2, X Ф—1 при помощи справедли-
§ 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ
69 г
вого для ReX>—1 тождества
j Xх ср (х)
dx ¦¦
о
1 со
= f xx[u(x)—ymdx + fxx9(x)dx-t-?^\. (2)
О 1
А именно, при ReX>—2, X Ф—1 правая часть существует и определяет регуляризацию интеграла, стоящего слева: если —2<ReX^—1, X Ф—1 и если основная функция равна нулю в окрестности начала, то справа остается
интеграл J" Xх ср (х) dx.
Аналогичным способом строится продолжение функционала х\ на область ReX>—п—1, -\Ф—1, —2, ....—п:
со
j" хх ср О) dx = о
1
—J хк [ср (х) - ср (0У- хер' (0) —... — --^j ?(» -1) (0)
rfx
П (*-1)
*Ч (*)<**+? {kl\)l(t%. (3) л-1
И здесь правая часть дает регуляризованное значение интеграла, стоящего слева. Тем самым обобщенная функция х+ определяется для всех X Ф —1, —2, . . .
В полосе —п—1 <ReX< —п формула (3) может быть преобразована к более простому виду:
(*+. <?) =
по
= J хх [ср (х) — ср (0) — хер' (0)— ... — ^ту, 9[п~1] (0)] dx
(4)
70 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [2
оо
Формула (3) показывает, что (х\, ср) как функция от X имеет полюсы 1-го порядка в точках Х =— 1, —2, ....
причем ее вычет в точке Х = — k равен т^_^ ';. Так как
ср(*-Ц(0)=(—1)(А-1)(8(*-1)(л;), <?(х)), то, следовательно, сам функционал х\ имеет при X = — k полюс 1 -го порядка
с вычетом 8(*-*>(jc) (ft=l, 2, ...).
dx\
Подсчитаем производную При ReX>0 мы имеем
очевидное равенство ~arx'=='^x>+1' т- е- (•*¦ + • ?'С*)) =
=—(ХлД-1, ср(х)). Так как обе части последнего равенства аналитически продолжаются в плоскость (с исключенными точками —1, —2, . . .), то, в силу свойства единственности, равенство будет справедливо и во всей плоскости. Таким образом,
--~ = \х\ (X ф—1, —2, Например, при —1 < X < 0 мы имеем:
со
0
Эту формулу мы вывели иным путем в п. 2 § 2.
В § 4 будет построено разложение функции х\ в ряд Тейлора в окрестности регулярной точки и в ряд Лорана в окрестности полюса.
Перейдем теперь к построению и изучению обобщенной функции, отвечающей функции
хх = ( | х |х при х < 0, 0 при х^>0.
в силу того, что в этом случае при l^fe^/i
2] § 3. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ 71
Х = — k обобщенная функция xL имеет простой полюс с вы-
четом
(А-1)1 *
Формула для регуляризованного значения интеграла
о
(хЬ., ср) = J | х |х ср (х) dx
—со
з полосе — п — 1 < Re X < — п приводится к виду
о оо со
j j х |X ср (х) dx = J хх <р (— х) dx =J хх [ср (— х) — ср (0)-f-
—со О О
+ х ср' (0) —.. . . — ( (^_* ср(-1) (0)J dx. (7)
В § 4 будут приведены разложения функции хХ- в ряд Тейлора и ряд Лорана.
Для ReX>—1 эта функция определяет регулярный функционал
