Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
обобщенная функция /0 сосредоточена в одной точке, скажем ха = 0, то она имеет вид
т
/<>(¦*) = 2**8 <*>(*)
с некоторым (конечным) т.
В силу этой теоремы мы имеем
т
f(x) — C1JC+ — Сгх\ — 2 ck bW (х) = 0.
Применяя свойство 4, получаем с0 — Сх= ... —ст = 0, и, следовательно,
/ (х) = Сих\ -f- Сях\ есть общее решение поставленной задачи при Хф—1, —2, . ..
Пусть теперь Х =—п есть целое отрицательное число. Будем предполагать, что f (х) — четная функция при четном п и нечетная функция при нечетном п. При хфЬ функция f (х) должна совпадать с функцией Сх~п. Обобщенная однородная функция, обладающая этим свойством, известна, именно, Сх~п. Разность f0(x)=f(x) — Сх~п, как и выше, сосредоточена в точке х=0 и есть линейная комбинация 8-функции и ее производных. Снова применяя свойство 4, получаем, что общее решение уравнения (2) при Х = — п имеет вид
f{x) =Сх-»-г-С18(»-« (х). Во всех случаях получаются две линейно независимые однородные обобщенные функции порядка X.
В и-мерном пространстве обобщенная функция гк при Re X >—п, очевидно, однородная функция степени X. В силу свойства 5 она остается однородной всюду, куда она аналитически продолжается, т. е. всюду в плоскости X, кроме
точек Х = — п, —п — 2, . . . Функция §(xt.....хп) —
однородная функция степени —п, что можно получить как непосредственно из ее определения, так и с помощью формулы (9) п. 9.
Используя однородность функций 8(n-1)(jc) и х~п, мы можем преобразовать формулы разложения 8-функции на плоские волны (п. 10, формулы (5) и (6)) к аффинно-инва-риантному виду. Рассмотрим произвольную поверхность S, звездную относительно точки О; она получается из единичной сферы умножением радиуса-вектора, идущего в точку
1] §4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ 111
*) Этот параграф при первом чтении можно пропустить.
о) = ((о1, .... (вге), на положительное число /(<»). Положим рк — /(">) шА. В силу однородности функции 8(™-1) (л:) мы имеем
§(п-1)(рл+ . . . +РЛ) = [/((о)1-»5<»-1)(ш1*1-Ь . .-ЬшЛ);
с другой стороны, произведение lf(<»)]nd(o есть элемент rfS поверхности S; поэтому при нечетном п имеет место равенство
8 (xv . . ., хп) = сп J 8<»-Ч (ш^ -4- . . . -f- wnxj dm =
= ся / * <» - Ч (р^ -+-...+ РЛ) Л. (4)
s
Аналогично, при четном п
Ь(хи----хп) = сп j (<olxi + . . . =
2
= cra J (Pljq 4- • • • + ds- (5)
s
Формулы (4) — (о) имеют уже афинно-инвариантную запись.
§ 4. ПРИСОЕДИНЕННЫЕ ФУНКЦИИ *)
1. Присоединенные функции. Однородные функции, как это следует из их определения, являются собственными функциями оператора подобного преобразования и:
uf (x)—f (ах). Действительно, если / (лг) — однородная функция степени X, то
uf(x) — f (ах) = xxf (х). У произвольного линейного преобразования, наряду с собственной функцией /0, отвечающей данному собственному значению, имеются обычно так называемые присоединенные функции различных порядков. Функции fu /2, .... /*, называются присоединенными к собственной функции /0 преобразования и, если они удовлетворяют соотношениям:
и/о = я/о.
«Л = 0/2 + ^/1.
112 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [1
т. е. линейное преобразование и воспроизводит присоединенную функцию k-ro порядка с точностью до присоединенной функции (k — 1)-го порядка.
Заметим при этом, что, как легко проверить, сумма присоединенной функции k-то порядка и присоединенной функции низшего порядка снова представляет собой присоединенную функцию &-го порядка. В конечномерном пространстве, в базисе, состоящем из собственных и присоединенных векторов линейного преобразования, матрица этого преобразования имеет жорданову нормальную форму. Присоединенные векторы выбираются при этом так, чтобы постоянная Ъ равнялась единице.
Возвращаясь к функциям и к оператору подобного преобразования в области независимых переменных, мы скажем, что присоединенной функцией 1-го порядка степени X называется функция fY (х), которая для любого а ^> 0 удовлетворяет равенству
Л (<*•*) = <*ХЛ (х) -f- h (а) /о (х),
где /0(х)— однородная функция степени X. Функция Л (а) однозначно определяется из тождества
h (а(3) = ах я ф) -\-фхп (а), вытекающего из рассмотрения fx (аВдг). Деля обе части этого тождества на ахрх, получаем, что функция ftt (а) - А^ удовлетворяет уравнению
*i(«P) = Ai(<*)-r-MP). Как известно, единственным непрерывным решением этого уравнения является логарифмическая функция. Учитывая еще, что Л(1) = 0, мы получаем:
h (а) = ах In а.
Окончательно мы будем называть ft(x) присоединенной функцией 1-го порядка степени X, если для любого а>0 выполняется условие
Л (ах) = ахЛ (х) ax In а/0 (х), (1)
где /0(х)—однородная функция степени X. Например, 1п|лс| есть присоединенная функция 1-го порядка нулевой степени, так как для a > О
In \,ах | = In | х | -f- In a.
2] § 4. ПРИСОЕДИНЁННЫЕ ФУНКЦИЙ 113
8 Зак. 460. И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, вып. 1
Аналогично тому, как это было сделано для обобщенных однородных функций, определим теперь обобщенные присоединенные функции. Обобщенная функция ft называется присоединенной однородной функцией 1-го порядка степени X. если для любого а > О
