Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве еще одного применения эллиптических координат мы рассмотрим задачи о плоском движении материальной точки в поле притяжения двух неподвижных центров. Эта задача была проинтегрирована Эйлером в 1760 г. Пусть X|, X2 — декартовы координат !,і і! плоскости движения и (0, с), (0, —с) —
142 координаты притягивающих центров; с>0. Перейдем к эллиптическим координатам в плоскости #2={*i, X2}, считая, что а2—сц = 2с. Это означает, в частности, что при фиксированных значениях X уравнение
задает коническое сечение, фокусы которого совпадают с неподвижными центрами. В симплектических координатах X, ц функция Гамильтона этой задачи равна
H = 2 (а,~х,Дах<,~Х') +2 M22 + ^ М.
где U—потенциальная энергия взаимодействия. Пусть ги г2— расстояния от движущейся точки до притягивающих центров. Используя формулу (19) при п=2, нетрудно получить, что
r\=(x2 +су+х\-(у o2+x1+vatti2)2
г\=(х2 -с?+х\=(vatptl - /?+?2, Следовательно,
ц_ У* ¦ V« _T»/'i + Y«/'t _ (У»+ У») Vflt+ Я»—(Ух—Y«) V<h + x» гX Г, г,г» X1-X1
В итоге переменные Я>і, (її и Яг, Цг разделяются и, согласно предложению 5, задача двух неподвижных центров интегрируема. Лагранж показал, что интегрируемость сохранится, если на точку будет дополнительно действовать упругая сила, направленная на середину отрезка, соединяющего притягивающие центры. Качественное исследование задачи двух центров можно найти в книге Шарлье [24].
В заключение укажем две важные задачи, решаемые методом разделения переменных:
1) Задача Кеплера в однородном силовом поле: речь идет о движении точки под действием гравитационного притяжения иеподвнжиого центра и дополнительной силы, постоянной по величине и направлению. Разделение переменных достигается с помощью введения «параболических» координат; они получаются из эллиптических координат предельным переходом, когда один из фокусов удаляется в бесконечность. Эта задача решена Лагранжем в 1766 году.
2) Задача о движении точки по сфере <х, х> = 1, XbRn в силовом поле с квадратичным потенциалом U(x)=(Ax, х}. Разделение переменных осуществляется в эллиптических координатах. При л = 3 эта задача впервые рассмотрена Нейманом (С. Neumann) в 1859 году. Случай произвольного п подробно обсуждается в [32].
143 3.2. Метод L — А пары. Этот метод основан на представлении дифференциального уравнения x = f(x), х=(хх.....хп)
в виде следующего матричного уравнения
L = [A, L] =AL-LA;
(21)
здесь элементы квадратных матриц А и L (возможно, комплексные) являются функциями от jci,..., хп. Уравнение (21) естественным образом возникает во многих задачах механики и физики.
Пример 7. Уравнение Эйлера Af = MXto можно представить в виде (21), если положить
L =
M1 О
-M0
-M1 О M3 M2 -M3 о
A =
О -U),
COj —CO2
О со,
со2 — O3 О
где (Mi, M2, M3) =M и (сої, (о2, (O3)=CO. Собственными значениями матрицы L являются числа 0, ±i(M, М>; они постоянны на траекториях уравнений Эйлера.
Это замечание, оказывается, не случайно. Предложение 6. Собственные значения оператора L являются первыми интегралами уравнения (21).
<3 Имеем L(t + s) =esAL(t)e~sA+o(s) при s-»-0. Поэтому det(L(/ + s)—ХЕ) = det(Z.(0—ХЕ) + o(s). Следовательно det(Z.(/)—).E) не зависит от t. [>
На практике удобнее, конечно, иметь дело не с самими характеристическими числами X, а с симметрическими полиномами от к — коэффициентами векового уравнения det(L—XE)= 0. Вопрос о независимости найденных этим методом первых интегралов и об их полноте в каждом конкретном случае составляет предмет отдельного исследования.
Пример 8 (Цепочка Тоды (М. Toda)). Рассмотрим п частиц на прямой с координатами X1, ...,хп, удовлетворяющими уравнениям
Xl=-Ux, = 2 exp (jca-jca41), jc^1 = jc1
(22)
і
Как показали Хенон, Фляшка (Н. Flaschka) и С. В. Манаков (1974 г.), эта система может быть представлена L-A парой, Можно положить, например,
L =
b\ ах ax Ь2
о.'.'.
... о ... о
ал-і Ьп
A =
О O1 ¦ах О
О О
О ... —а„_! О
144 где 2а»=exp ((Xfc—) /2), 2 bh=—xk. Из предложения 6 вытекает, что собственные числа L являются интегралами уравнений (22); можно показать, что они независимы и коммутируют. В работе Мозера [178] этим же методом установлена интегрируемость системы точек равной массы на пр мой с потенциалом парного взаимодействия
(Хл — Х,),
kt
где u(z) совпадает с одной из функций z~2, sin~2z, sh_2z. С. И. Пидкуйко и А. М. Степин обобщили этот результат, установив полную интегрируемость уравнений движения точек с потенциалом«? (г) ? 113]. Потенциалы, рассмотренныеМозером, являются вырожденными случаями б5-функции Вейерштрасса. Движение нескольких точек на прямой можно рассматривать как движение одной точки в камере Вейля алгебры Ли Ak под действием потенциала, растущего у стенок камеры. Аналогичные задачи для других простых алгебр Ли (с такими же потенциалами) тоже интегрируемы (А. М. Переломов, М. А. Оль-шанецкий). Интегрируемой оказывается и задача о свободном движении твердого тела в Rn (С. В. Манаков).
Отметим, что L—А -представление найдено почти во всех проинтегрированных задачах классической механики. Найдены также различные алгебро-геометрические конструкции, проясняющие причины существования «скрытых» законов сохранения. Наличие L—Л-представления помогает не только найти первые интегралы, но и осуществить явное интегрирование уравнений движения. Обсуждение различных аспектов современной теории интегрирования гамильтоновых систем можно найти в [32], [65], [136].
