Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
где /(т),' g(m> — тригонометрические полиномы от <р, ограниченные сверху по модулю величиной порядка ет. Описанная выше процедура исключения быстрых фаз проводится так, как будто / "", g"'" —члены порядка ет в разложении возмущения по е (при этом не учитывается, что /(т)/е и g(niVem сами зависят от є). Тогда в каждом порядке процедуры возникает лишь конечное число малых знаменателей. Соответственно, функции ии vi не определены лишь на конечном числе резонансных поверхностей (к, ш (/))=0, зависящем от є и номера і. В каждом конечном приближении отображение /, г|)>->7, <р оказывается не определенным на конечном (зависящем от е и от номера приближения) числе поверхностей. Вне некоторой окрестности этих поверхностей (обычно ширины порядка Ve) разности |/—/ ІФ—1I5I оказываются достаточно малыми (обычно тоже порядка >'е), а отображение /, -ф—>/, ф действительно определяет замену переменных. Подстановка этой замены в уравнения позволяет отнести зависимость от фаз в члены более высокого порядка малости.
Вторая трудность состоит в том, что в ходе эволюции частоты ш(/) сами медленно изменяются. Поэтому на интервале времени 1/е точка может многократно пересекать окрестности резонансных поверхностей. Следовательно, даже замена переменных первого приближения не определена, вообще говоря, вдоль всей траектории на интервале времени 1/е. Однако эта замена является основным средством анализа движения между резонансами. Происходящие при пересечении резонансной поверхности явления рассмотрены ниже в пп. 1.7, 1.8. Грубо говоря, дело здесь обстоит так: суммарная мера резонансных областей оказывается малой; поэтому для большинства начальных данных движение в них не может сильно повлиять на эволюцию и принцип усреднения позволяет описать большинство траекторий.
158 Замечания. 1. Существуют разные варианты построения замены переменных, осуществляющей разделение быстрого и медленного движений. В частности, эту замену можно искать не в виде ряда, как выше, а в виде композиции последовательных замен переменных. Первая замена определяется формулами
/ = /+еы,(У,1Jj), <p=i|>+efi(/,i|)),
где и і, Ut — определенные выше первые члены рядов (5). Уравнения возмущенного движения для новых переменных содержат фазу в членах порядка е2. Затем делается аналогичная замена, переносящая зависимость от фазы в члены порядка е3 и т. д. Этим методом строится та же самая формальная замена (5), однако технически он часто оказывается более удобным. Для гамнльтоновых возмущений метод последовательных замен обладает замечательным свойством квадратичной сходимости: вторая замена переносит зависимость от фазы в члены порядка е4, третья — в члены порядка е8 и т. д. (см. ниже п. 2.2. В).
2. Еще один вариант процедуры разделения движений получается на основе следующего соображения. Преобразование X= (/, (р)1-*-(/, і|))=і/ вида (5) является преобразованием сдвига за «время» е для некоторой формальной системы дифференциальных уравнений
Обратно, каждая такая система уравнений порождает преобразование сдвига вида (5). Поэтому вместо функций uit Vi, входящих в (5), можно искать функции IV i, задающие соответствующую систему дифференциальных уравнений. Получающаяся процедура удобна тем, что в ней имеются достаточно простые общие формулы для высших приближений. Подробности см. в [154]. Д
1.3. Процедура исключения быстрых переменных. Резонансный случай. Пусть задана подгруппа целочисленных векторов К, определяющая возможные резонансы. Постараемся подобрать замену переменных /, <p-* J. -ф так, чтобы правые части уравнений возмущенного движения в новых переменных зависели от быстрых фаз только через комбинации (k, \|>), AeК. Замену переменных будем искать в виде рядов (5).
Уравнения для /, должны иметь вид
У= bFo(A у)+E2F1 (Л у)+-.-
ф = <о(У) + еО0(У, V)+..., где Y= (Vi» • • •. Yr) — полубыстрые переменные (независимые комбинации фаз г|> с коэффициентами из К), г — ранг К. Введем еще быстрые переменные x= (xi.....Xn-r), (y. x) = ?i|>. где
R— унимодулярная матрица, введенная в конце п. 1.1. Подставляя замену переменных в уравнения возмущенного движе-
159 ния, выражая У, г|> согласно (10) и приравнивая члены одинакового порядка по е, получаем систему соотношений вида (7), но функции Fli, Ci в ее правых частях зависят уже от / и от у. Частное решение этой1' системы дается формулами
^rO(Л Y)= if (A ?.0) >', МЛ (Л ?. О) — /7о(У, у)},> + и1о(У),
<?о(Л Y)= U (Л ф. 0) + -^-Иі(У, ?) > X,
МЛ *) = {й(Л ч1' 0)+|jtt,(y, ?) — G0 (У, y)}* + ®°i(a F1=(X1)*, u^iXt-F^+u^J), Oi - < Kj + g- Bw >», = (Ki + ^7 «і,. - Gif + ®?+l (A
Здесь символ < • >x обозначает усреднение по % (предварительно надо выразить ij> через у, %), символ {• }*, как и в п. 1.2, обозначает применение интегрирующего оператора (8), а ы<°, Ki0 — произвольные функции от /. В формулах возникают знаменатели (к, to) только для кЪК.
Обрывая ряды замены переменных на членах г-го порядка, получим систему уравнений, в которой зависимость от быстрых фаз содержится в членах порядка er+1. Отбрасывая эти члены, получим укороченную систему, которую следует применять для описания движения в окрестности резонансных поверхностей (k, 0)(/))=0, №К. В первом приближении эта система совпадает с частично усредненной с учетом заданных ре-зонансов системой (4) (только надо выбрать Mi0=O).
