Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
152 Пример 1. Если невозмущенная система описывает движение по кеплеровским эллипсам не взаимодействующих планет вокруг притягивающего их Солнца, то интегралы Ij — это большие полуоси, эксцентриситеты, наклонения, долготы узлов и перицентров, фазы <pj — средние аномалии планет. Д
Малое возмущение системы приводит к появлению малых добавок в уравнениях движения. В переменных /, ф уравнения возмущенного движения примут вид
/=е/(/, ф, е),
ф =u)(/) + eg(/, Ф, е).
Функции fug имеют по ф период 2л. В уравнениях (2) переменные / называют медленными переменными, а фазы ф — быстрыми переменными.
В приложениях обычно основной интерес представляет поведение медленных переменных. Принцип усреднения состоит в том, что для приближенного описания их изменения на временах порядка 1/е система возмущенных уравнений (2) заменяется на усредненную систему
J=tF (J), F (J) = (2я)_т § / (У, ф, 0) гіф. (3)
Tm
Таким образом, получается замкнутая система для описания медленного движения, которая гораздо проще исходной; например, шаг численного интегрирования для нее можно выбрать в 1/е раз большим. Поэтому принцип усреднения чрезвычайно продуктивен и широко используется на практике.
Пусть I(t)—медленное движение в исходной системе, а У СО — в усредненной, J(O)=I(O). Согласно принципу усреднения, I(t) заменяется на J(t). Для обоснования этого рецепта (который не всегда приводит к правильному ответу) надо установить условия, при которых |/(/) —,/(/) |-Ч) при Os^sg ^ 1/е и е-»-0. Если последнее соотношение справедливо, то желательно иметь оценки сверху для |/(/)—J(/)| при 0??*?? ^ 1/е. Иногда такие оценки удается установить и для гораздо больших интервалов времени. Эти вопросы еще далеки от полного решения, они обсуждаются в следующих пунктах параграфа.
Пример 2. Рассмотрим систему уравнений / =е(а+&созФ), Ф =(о и соответствующую усредненную систему
У =*га.
Здесь
/ (0 — 'о + eat + Ь [sin (0)/ + ф0) -Sln Фо]/<а, У (*)=/0+ tat.
17-1
153 Иешения точной системы осциллируют около решений усредненной с амплитудой порядка е и частотой to (рис. 27). Усреднение сводится к отбрасыванию в правой части уравнения чисто периодического члена. Этот член имеет тот же порядок, что и оставленный. Однако он осциллирует и приводит лишь к малым осиилляциям решения. Оставленный член вызывает дрейф, который за время 1 /(еа) изменяет 1 на величину 1.
W
Io
Рис. 27
Принцип усреднения основан на представлении, что и в общем случае отброшенные при усреднении осциллирующие члены приводят только к малым осцилляциям, которые накладываются на дрейф, описываемый усредненной системой. Д
Сформулированный принцип усреднения использовали JIar-ранж и Лаплас в теории вековых возмущений орбит планет. После их работ этот принцип стал стандартным средством небесной механики. Позднее его переоткрыл и использовал для решения задач теории нелинейных колебаний Ван-дер-Поль (В. van der Pol). Широкое применение принципа усреднения в теории колебаний было стимулировано работами Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова и Ю. А. Митропольского. История принципа довольно запутана, ее изложение содержится во вводных параграфах монографии [96]. В настоящее время принцип усреднения в различных вариантах (и иногда под различными названиями) используется во многих прикладных областях.
Пусть теперь в уравнениях невозмущенного движения частоты тождественно целочисленно соизмеримы, т. е. выполнено одно или несколько соотношений вида (А, ш)ео, где A = = (*1.....AmJeZmX(O)1 (A, (O)=AiШ,+...+Am(I)m. Тогда траектории невозмущенного движения на торе Tm заполняют торы меньшей размерности и усреднение по всему Tm не может, вообще говоря, правильно описывать движение. Другой довод — в разложении правых частей возмущенной системы в ряд Фурье имеются неосциллирующие гармоники, которые нет причин отбрасывать. Если частоты в течение достаточно долгого времени близки к соизмеримости, то усреднение по всему тору также может оказаться неприменимым. В этих случаях, называемых резонансными, используется следующая процедура, называ-
154 емая частичным усреднением. Пусть задано одно или несколько резонансных соотношений, т. е. равенств вида (к, ш)=0 с целочисленными несократимыми векторами коэффициентов к. Через К обозначим подгруппу целочисленной решетки Zm, порожденную этими векторами, а через г — ранг К. Гармоника exp (i(k, ф)) называется резонансной, если кЬК. Частично усредненной с учетом заданной системы резонансных соотношений (или просто резонансов) называется система
j = eFk(J, ф),
Ф=CD (У) +еОдг (У»<P)i U
где Fk и Ck-суммы резонансных гармоник рядов Фурье функций /(/, ф, 0) и g(I, ф, 0).
Чтобы оправдать термин «частичное усреднение», сделаем в уравнениях возмущенного движения замену фаз G=#ф, где R — целочисленная унимодулярная матрица, первые г строк которой принадлежат К (такая матрица существует согласно [145]). Обозначим y=(yi,..., Yr)—первые г компонент ft, а X= (х...... Xm-r)—остальные компоненты. Усредняя по х полученную систему, придем к уравнениям, эквивалентным (4).
