Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
пактным.
Теорема 9 (Н. Н. Нехорошее [109]). Пусть первые п—k функций Fi находятся в инволюции со всеми. Тогда
1) Mf диффеоморфны (п—А)-мерным торам,
2) в окрестности Mf существуют симплектические координаты I, р, ф mod 2л, q такие, что
h=I,(Fu-..,Fn-k), l<s<n—k,
а р, q зависят от всех Fh.
Симплектические координаты, о которых идет речь в теореме 9, можно назвать обобщенными переменными действие— угол.
Пример 4. Рассмотрим задачу Кеплера в трехмерном пространстве. Эта гамильтонова система с тремя степенями свободы имеет четыре (3+1) интеграла: H (полная энергия), M2 (квадрат модуля кинетического момента), Mv, Mz (проекции момента на осн у, г). Функции H и M2 (в количестве 3—1) коммутируют со всеми интегралами, что позволяет применить теорему 9. Обобщенные, переменные действие—угол задачи Кеплера обычно обозначаются L, G, 6, /, g, Ф и называются элементами Делоне (С. Delaunay). Если а, е и і обозначают большую полуось, эксцентриситет и наклонение эллиптической орбиты, то
L = Vya, G=Vya(1-е2), Q=Gcosi.
Далее, ft— долгота восходящего узла, g-j-ft— долгота перигелия, I — средняя аномалия. В этих переменных H=—y2/2L2, M2 = G2, Mz = в. Выражение Mv через элементы Делоне более громоздко. Подробности можно найти в [24]. В нашей задаче переменными I, ф — служат элементы L, G, I, g, а переменными р, q — элементы в, ft. Д
В заключение обсудим вопрос, связанный с усреднением по
17-2 Рис. 25. Элементы Делоне
времени в интегрируемых гамильтоновых системах. Пусть f : DxTn-*-R— некоторая непрерывная функция. Рассмотрим ее поведение на решениях гамильтоновой системы (2). Образуем среднее по тору
2л In
М/) = (2я)-«$ . . . ^f(I1V)MlA..-AdVn
o о"
и временное среднее
s
g(I, ф) = Iim 4- [f (Л®<
5 б'
По теореме 4 предел всегда существует, однако если частоты (O)1 (/),.. .,(о„ (1))=(0(1) зависимы, то среднее зависит от начальной фазы ф. При этом
(2л)"1 Jg (/, ф)<*ф = к(1)
для всех /6D. На нерезонансиых торах g(I, ф)=Ц/) для всех фбTn. Следовательно, временное среднее g(I, ф) является, вообще говоря, разрывной функцией в области DxTn.
Предложение 2. Если тор I = I0 нерезонансный, то равномерно по фб7"п
Нтё(/,Ф) = Ч/о).
Таким образом, функция g(I, ф) напоминает классический пример функции Римана, непрерывной в иррациональных и разрывной в рациональных точках. Доказательство предложения 2 содержится в работе [12].
2.2. Некоммутативные наборы интегралов. Пусть M — симплектическое многообразие размерности 2п и Fu ..., Fh : M-+R— гладкие независимые функции. Линейная оболочка S над полем R функций Fu .. ¦, Fh имеет, следовательно, размерность к.
132 Предположим, что ^ замкнута относительно скобки Пуассона: (ZbFjJ=ScljsFs. Тем самым S имеет структуру вещественной конечномерной алгебры Ли. Рангом (rang алгебры S назовем максимальный ранг матрицы IIa,-j (Fi,..., Fk) ||, a,j= (F11 FjY (ср. с п. 2.2. гл. 3).
Теорема 10. Предположим, что на множестве уровня Mf= = (xCAf: Fi{x) =fu дифференциалы dF< линейно неза-
висимы и алгебра S удовлетворяет условию
dim ?+rang ? = dim М. (4)
Если Mf связно и компактно, то оно диффеоморфно /"-мерному тору Tr, где г = rangДалее, если функции Fb...,Fk являются первыми интегралами гамильтоновой системы с гамильтонианом Я, то на Mf можно выбрать угловые координаты Фі,..., cptmod2n так, чтобы уравнения Гамильтона X = IdH (х) иа Tt приняли следующий вид: фі=ш(І=сопзІ.
Это утверждение, родственное теореме 9, указано А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [98]. Его можно вывести из теоремы Ли-Картана (теорема 16, п. 2.2., гл. 6), согласно которой в предположениях теоремы 10 существуют k функций Фь ..., Фь от первых интегралов Fu .. .,Fk в окрестности точки Fj=/, таких, что
{Ф,, Фг+І} = 1, lsst'ssr, а все остальные скобки '{Ф,-, Ф,}=0. Следовательно, множество Nc= (хеМ : Фт(*) =с, является симплектическим под.
многообразием в М, причем ограничения функций Фгг+ь ..., Фк на Nc образуют полный набор коммутирующих интегралов. Заключение теоремы 10 вытекает теперь из теоремы 3.
Пример 5. Рассмотрим задачу о движении материальной точки в центральном поле. Соответствующая гамильтонова система имеет четыре независимых интеграла: Я, Mx, My и Mz. Функции Mx, My, Mz порождают алгебру Ли, изоморфную so(3), а функция M коммутирует с Mx, My, Mz. Если постоянные «интегралов площадей» M не все равны нулю, то ранг матрицы скобок Пуассона Iaij | равен, очевидно, двум. В этом случае выполнено равенство (4) и, следовательно, применима теорема 10. Д
В примере 5, как и во всех известных случаях, описываемых теоремой 10, можно указать полный набор интегралов в инволюции. Это наблюдение не случайно; оказывается, справедлива
Теорема 11. Если M компактно, то в предположениях теоремы 10 можно найти n = dimM/2 независимых интегралов Фь ..., Ф„ в инволюции; эти функции являются полиномами от Fi,..., Fk.
В работе А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко [99], где доказана эта теорема, содержится также предположение о том, что условие компактности M можно снять. Отметим, что полная интегрируемость вблизи множества уровня Mj вытекает, конечно, из
