Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Это рассуждение показывает также, что для описания изменения J в (4) достаточно рассмотреть систему из л+г уравнений для /, у. Переменные У медленные, а у — полубыстрые: они изменяются медленно вблизи точек фазового пространства, где справедливы заданные резонансные соотношения, и быстро — вдали от этих точек.
Пример 3. Рассмотрим систему уравнений
/і = — е sin(<Pt—ф2), / 2=е [COS (Ф, — Ф2) + Sin Ф2],
Фі = 1+/1, ф2=1.
Введем Y=Фі —Ф2. Фазовый портрет задачи на плоскости /1» Y показан на рис. 28. Колебательная область имеет ширину 4 У е. Независимое усреднение по ф„ ф2 при Zi(O)=O, Y(O)=O при-
Рис. 28
водит за время 1/е к погрешности 1. Частичное усреднение с учетом резонанса (O1-W2=O дает систему
Уі = — esiny. y2=ecosY» у =J и
20-2 155 которая описывает движение на временах 1/е с точностью порядка е. А
1.2. Процедура исключения быстрых переменных. Нерезонансный случай. Основную роль во всех вопросах, связанных с принципом усреднения, играют замены переменных, позволяющие с заданной точностью исключить из уравнений возмущенного движения быстрые фазы и таким образом отделить медленное движение от быстрого. В первом приближении эти замены приводят исходную систему уравнений к усредненной Их сконструировали Линдштедт (A. Lindstedt), Болин, Делоне Ньюком (S. Newcomb), Пуанкаре, Цейпель (Н. Zeipel) Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов. Опишем построение этих за мен (в неконсервативном случае; консервативный случай раэоб ран в § 2).
Нужная замена переменных /, <p"-•¦/, гр ищется в виде формального ряда
/ = У + ZUx (У, ?) + Z2IL1 (У, ip) + ...
Ф = ^ + ет),(У, \р)+е2и2(У, ^) + ...,
где Uj и Vj имеют по гр период 2л. Постараемся подобрать Uj и Vj так, чтобы правые части уравнений для новых переменных не содержали быстрых фаз, т. е. уравнения имели вид
J = zF0 (J) + Z2Fx (J) + ...
(о)
гр =(I) (J)-f-BG0(J)+ Z2Gx (У)+ ....
Предположим, что правые части уравнений возмущенного движения (2) аналитичны по всем аргументам. Подставляя замену переменных в эти уравнения, заменяя в получившихся соотношениях J и гр с помощью (б) и приравнивая члены одинакового порядка по є получим следующую систему соотношений:
F0(J) = f(J, vi', 0)-^со, (7)
G0(J)=g(J,y, 0) + ^Ul-^(„,
Fi(J) = X1V, ?)-^(0, i> 1.
Gi(J) = YdJ, +
Функции Xi, Yi определяются членами ии vx,..., ии Vt в разложении (5).
Чтобы записать решения полученной системы (7), введем дополнительные обозначения. Пусть функция h(J, гр) имеет по tp период 2л. Запишем ее разложение в ряд Фурье:
h (У, \р) = A0 (У) + 2 A* (J) exp (i (к, гр)). k+0
156 Будем обозначать
< h > *-h0(J), exP^{k' (8)
к+0 V ' '
Очевидно,
Оператор { • }* называют интегрирующим оператором. Он не определен, когда знаменатели в (8) обращаются в нуль или очень малы по сравнению с числителями. Трудности, связанные с наличием этих малых знаменателей, являются основными в теории возмущений. Но мы временно забудем о них и будем считать, что интегрирующий оператор можно применить ко всем встречающимся ниже функциям. Тогда решение системы (7) дается формулами
F0(J)= </(Л я|,,0) >*, (9)
"і (Л Ч>)={/(/, Ч>,0)}*+Иіо(У),
G0(J)= (g (J, +
МЛ Ч>) = {б(Л Ъ +
Fi=(Xt)*, и<+1=і>1
G1= (Yi + d?uul)% Iw-^giiitIp+*!+,.
Здесь u01(J)1 v0i(J) —произвольные функции. Обычно выбирают u0 = u0=O.
Если оборвать ряды для замены переменных (5) на членах порядка то получится замена переменных, которая при-
водит уравнения возмущенного движения к виду
j=&Fs(J, s) + sr+,a (У, ?, е),
ij>=o(y) + eGs(y, е) + er+1? (У, ?, в). Таким образом, зависимость от фаз оказывается отнесенной в члены порядка er+1. Если отбросить эти члены, то система уравнений для J отщепится. Если найти ее решения, то изменение фазы определится с помощью квадратуры. Возвращаясь к исходным переменным, видим, что изменение I сводится к медленному дрейфу (описываемому уравнением для J), на который накладываются малые быстрые осцилляции (описываемые с помощью замены переменных), точно так же, как в примере 1 и на рис. 27. Изменение <р представляется как вращение с медленно изменяющейся частотой, на которое также накладываются осцилляции. В первом приближении эта процедура приводит к усредненной системе (с добавлением уравнений, приближенно описывающих изменение фаз).
157 Выше предполагалось, что в формулах для замены переменных знаменатели (к, со(J)) не обращаются в нуль в рассматриваемой области. Это предположение выполнено для одночастот-ных систем с не обращающейся в нуль частотой, систем с постоянными несоизмеримыми частотами, систем с конечным числом гармоник в возмущении и в некоторых других случаях (см. ниже пп. 1.4—1.6). Но для общих многочастотных систем это условие нарушается. Здесь' есть две трудности.
Во-первых, в общем случае знаменатели (к, ш(/)), feeZ™\ \{0} обращаются в нуль на всюду плотном множестве, так что формулы (8), (9) не позволяют даже определить uu vi. Эта трудность обходится с помощью следующей модификации замены переменных. Возмущающие функции є/, eg представляются в виде
