Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть
Я*) = +J/**''<' *>•
' к-р О
Если о)„ ...,w„ рационально несоизмеримы, то мы можем напи" сать формальное равенство:
frrl) 4 '
Этот ряд определяет гладкую функцию R(x), если, например, f(x) —тригонометрический полином.
136 Предложение 4. Еслк / —гладкая функция, то для почти всех наборов чисел сої,..., шл уравнение (11) имеет гладкое решение.
<1 Действительно, коэффициенты Фурье fk убывают с ростом k быстрее любой степени, а для почти всех (о справедлива степенная оценка
I < А, (0 > |>C/|A|Y; с, Y = Const.
Следовательно, в этом случае ряд (12) абсолютно сходится и его сумма является гладкой периодической функцией. t> Если /(*) =Ifl(Xt) (как в случае системы (8)), то уравнение
s
(11) разделяется и поэтому оно всегда имеет решение независимо от арифметической природы частот ем,..., cu„:
\FAXirlsXS< F*(x) = jfs(t)dt, Is=±-Fs(2n).
? частности, уравнения (8) всегда приводятся к виду (10), который должен существовать согласно теореме 3.
с) Задача о движении твердого тела в идеальной жидкости намного богаче интегрируемыми случаями. Уравнения движения имеют вид уравнений Кирхгофа (гл. 1, § 2, п. 2.4):
/г=?Х(й + еХи, ё=еХа>, (13)
где to = Hh', и = Не'\ H = (Ak, k)/2+(Bk, еУ+(Се, €)12. Поскольку матрицы а, в, с симметричны, то матрицу а можно привести к диагональному виду: j4 = diag(ai, а2, аз). Таким образом, задача Кирхгофа в общем случае содержит 15 параметров. Уравнения (13) всегда имеют три независимых интеграла: Fi = = H, F2 = ^k, в>, F3= (е, е>. Как и в случае тяжелого волчка, задача их интегрирования сводится к отысканию четвертого независимого интеграла. Укажем два случая интегрируемости; они открыты Клебшем (A. Clebsch) в 1871 г. и В. А. Стекловым в 1893 г. В случае Клебша предполагается, что ? = 0, C=diag(cj,
Cl, C3) и
а-1 (с2—с3) + а21 (с3 - ci)+a^ (C1 — с2)=0.
Дополнительный интеграл уравнений Кирхгофа имеет вид
ki2+k.22+k32 - ахех2 - C^e22 - а3е 32.
В случае Стеклова B=dlag(bi, b2, b3), C=d!ag(c1, c2, c3), причем
bJ=H (OiO2O3) aj' + V, Ci=^a1(O2-A3)2+V, ... (|л, v, v' = const). Дополнительный интеграл —
2 (kj2 - 2j-i (aj+V) kjej) + ix2 ((02 - <h)2 + v'O) el+ ... .
і
17-1 137 Параметры v, v', v" — несущественные: их появление связано с наличием классических интегралов F2 и F3.
d) Движение п точечных вихрей на плоскости (гл. 1, § 3, п. 3.4) описывается гамильтоновой системой с п степенями свободы. Уравнения Гамильтона имеют четыре первых интеграла н, px = it3xs, ру = 2Т,у„ м = 2Г,(х*+у*)12\ здесь ^ — интенсивность s-ro вихря. Легко сосчитать их скобки Пуассона: {рх, Я,}=—2Г„ {рх, м)=—ру, (p11, Al} =px. Следовательно, задача п вихрей вполне интегрируема при п^З. Случай п= 1 тривиален, при п = 2 независимыми коммутирующими интегралами являются, например, функции H и М, при п=3 — функции н, m и px2+pv2. В задаче четырех вихрей независимых интегралов равно столько, сколько степеней свободы, однако они не все коммутируют. Можно, однако, показать, что если сумма интенсивностей вихрей равна нулю, то решения уравнений движения с нулевыми постоянными интегралов px и pv можно найти в квадратурах.
§ 3. Некоторые методы интегрирования гамильтоновых
систем
Общим моментом различных подходов к проблеме интегрирования гамильтоновых систем, изложенных в § 1, является наличие полного набора независимых коммутирующих интегралов. В этом параграфе мы укажем некоторые общие методы поиска первых интегралов — «законов сохранения». Самым простым и эффективным из них является
3.1. Метод разделения переменных. Рассмотрим систему канонических уравнений
P=-Hq, q'=Hp, (p,q) б/?2" (14)
с функцией Гамильтона Н(р, q). Если нам удастся найти каноническое преобразование g : р, q*-*x, у такое, что в новых переменных X, у функция Н(р, q) = K(x) не зависит от у, то канонические уравнения (14) легко интегрируются:
р=р(х, У), q = q(x, у); X=X0, y=yo + a(xo)t, (X)(X)=Kx. (15) Если det||op/(?x||=5^0, то каноническое преобразование g локально можно задать одной производящей функцией S(x, q):
P = S9,y = S-x.
Таким образом, задача интегрирования канонических уравнений сводится к отысканию производящей функции S, удовлетворяющей ввиду равенства P = Sq' нелинейному уравнению в частных производных
H(Sq', q) =К(х). (16)
Это уравнение получается из уравнения Гамильтона — Якоби Vt'+H(V'9, q) =0 заменой V(q, t)=—Kt + S(q). Подчеркнем,
138 что функция К в уравнении (16) считается неопределенной и для ее однозначного задания следует привлекать дополнительные условия (см., например, применение уравнения (16) в теории возмущений гл. 5). Обычно полагают К(х\,... хп)=Х\] траектории системы с таким гамильтонианом являются прямыми в R2n= {х, у). Решение S уравнения (16), удовлетворяющее условию
det Wd2SfdqdxW^O,
называется его полным, интегралом.
Теорема 12. Если найден полный интеграл S(x, q) уравнения (16), то канонические уравнения P=-H11', q=Hr' интегрируются в квадратурах. При этом п функций Jfi(р, </)•••• .... хп(р, q), определяемых из уравнений p=dS(x, q)/dq, образуют полный набор независимых интегралов в инволюции.
