Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
1.3. Нормальные формы. Рассмотрим гамнльтонову систему
z = IdH{z), г = (р, (J)^R2n
в окрестности точки 2=0. Пусть вещественно-аналитическая функция H представлена сходящимся степенным рядом от z, начинающимся с членов второго порядка: H=IHk. Точка z=0
*> 2
является, очевидно, положением равновесия.
Собственные значения линеариованной системы z = IdHz могут быть четырех типов: вещественные пары (а, —а), аФО. чисто мнимые пары (ib, —ib), ЬФО, четверки (±a±ib), аф0, ЬФО и кратные нулевые числа (см. гл. 6, п. 2.3). В первом п третьем случаях равновесие Z=O заведомо неустойчиво. Мы будем рассматривать случай, когда собственные значения линеаризованной системы чисто мнимы и различны. Можно показать, что тогда существует линейное каноническое преобразование координат р, у, приводящее квадратичную форму
16-2 #2 к виду
s
Собственными числами являются как раз ±icti,..., ±іа„.
Теорема 5. (Дж. Биркгоф). Если cti,..., а„ независимы над полем рациональных чисел, то существует формальное каноническое преобразование х, у>-*\, ті, задаваемое формальными степенными рядами
х-=и(1, Л) =5+ •••• I. Л)=Л + •••• (О
которое переводит Н(х, у) в гамильтониан К(р) — формальный степенной ряд от Р« = |,2 + Т)"2-
Если ряды (1) сходятся, то уравнения с функцией Гамильтона H можно просто проинтегрировать. Действительно, функции pi,..., р„ — сходящиеся степенные ряды по де, у — образуют полный набор независимых интегралов в инволюции. Из канонических уравнений
І=Q,*1,. qs = Wps
следует, что ?,(/) и т),(0 являются линейными комбинациями sin ?,f и cos ?,/. Следовательно, исходные координаты х и у суть условно-периодические функции времени с частотами Qi,..., ?n». В частности, равновесие z=0 устойчиво.
Замечание. Условие теоремы Биркгофа еще не гарантирует устойчивости по Ляпунову положения равновесия гамильтоновой системы. В бесконечно дифференцируемом случае контрпример приведен в работе [151]. Для аналитических гамнльтоновых систем контрпример пока отсутствует.
Теорема 6 (см. [188]). Если система с гамильтонианом
/У = 2 Я, имеет п аналитических интегралов в инволюции k>2
cm=i 2v.ms (xs2 + у2) + 2 с«а
»>2
и detИXm,И 0, то преобразование Биркгофа (1) сходится.
Этот результат показывает, почему мы (следуя Биркгофу) называем интегрируемыми гамильтоновы системы со сходящимся преобразованием Биркгофа. Оставляя обсуждение вопроса сходимости до гл. 7, мы укажем, что ряды Биркгофа, как правило, расходятся.
Теорема 5 допускает обобщение на случай, когда числа а= (аь ..., ап) рационально зависимы. Введем в рассмотрение все целочисленные векторы j=(ji.....jn), Для которых </', а> =
''Функция g: R{t)-*-R называется ус.ювно-перис-'-. ч?,-кі.-й функцией с частотами шь ..., u>n, <.сл»: ?(0 =f(<a,t, ..., Шг.м, где ; . Tn-+f<.
16-2 =2/«а*=0. Они образуют свободную абелеву группу Г некоторого ранга г. Если числа независимы, то, очевидно, г=0.
Выполним некоторую формальную каноническую замену переменных х,у*-+1, т) вида (1). В новых переменных g, tj гамильтониан Н(х,у) будет представлен некоторым формальным степенным рядом КЦ,г\). Перейдем к комплексным переменным С,=?»+«1», —tri. и разложим К в ряд по произведениям
л
П ^Ґ/.
3—1
Определение. Формальный ряд А" (5, rj) имеет нормальную форму, если его разложение содержит лишь члены с (Л-06Г.
В частности, если а„ ...,а„ независимы, то в нормальной форме гамильтониана присутствуют только члены вида
Предложение 1. Ряд К(%, л) имеет нормальную форму тогда и только тогда, когда D(AT)=O, где
Доказательство просто выводится из следующей формулы: D (?*?') =I < a, k-l> (?*;')•
Теорема 7. Существует формальное каноническое преобразование вида (1) такое, что исходный гамильтониан Н(х,у) преобразуется к нормальной форме, т. е. D(K) =0.
Доказательство можно найти в [30]. При Г={0} эта теорема совпадает с теоремой Биркгофа.
Покажем, что в рассматриваемом случае можно указать ft—г коммутирующих независимых формальных интегралов вида
G =4 2 MS2,+ I2,).
где вектор ? = (?i,..., ?n) ортогонален всем векторам из группы Г. Действительно,
если р_1_Г. Так как rangT=r, то можно найти п—г таких линейно независимых векторов ?.
Пример 2. Применим эти соображения к гамильтоновой системе с функцией Гамильтона
и = \ Vi + У2: ' X2ijT je2 - + 2а«,Jf2-| Jf32),
127 детально изученной Хеноном (М. Henon) и Хейлесом (С. Heiles) с помощью численных расчетов. В этой задаче п=2 и Qi =<i2=l. Группа Г определяется равенством /і+/г=0; dimr=l. Чтобы получить интеграл, независимый от Я, мы можем положить ?i = ?2=l. Тогда G= (е^+л^ + ^+Лг2)^. Если Я преобразовать к нормальной форме по теореме 7, то
K= 2-(^ + ^ + ^+^,)4- •••
начинается с тех же членов, что и G. Можно показать прямым вычислением, что (с учетом слагаемых степени ^2) функции К и G действительно независимы. Обсуждение численных результатов Хенона и Хейлеса, в связи с построением формального интеграла, можно найти у Густавсона (F. Gustavson) [1561 и Мозера [30].
Преобразование к нормальной форме можно производить не только в окрестности положений равновесия, но и, например, в окрестности периодических траекторий. Все сказанное выше с необходимыми изменениями справедливо и в этом случае. В следующей главе будут рассмотрены различные варианты теории возмущений, в которых функции Гамильтона также преобразуются к некоторому «нормальному» виду. Как и в случае нормальных форм Биркгофа, ряды теории возмущений в общем случае расходятся.
