Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Интегрируемые неголономные системы
4.1. Дифференциальные уравнения с инвариантной мерой.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
X= f(x), X^Rn (23)
и пусть g' — его фазовый поток. Предположим, что уравнение (23) имеет интегральный инвариант с некоторой гладкой плотностью М(х): т. е. для любой измеримой области DczRn и для всех t выполнено равенство
J M(x)dx*= \ M (x) dx. (24)
g'(D) Ъ
Напомним хорошо известное утверждение Лиувилля о существовании интегрального инварианта.
17-1
145 Предложение 7. Гладкая функция M : Rn-*-R является плотностью инварианта
\ M(x)dx
тогда и только тогда, когда
div(M/)=0. (25)
Если М(х)>0 при всех X, то формула (24) определяет меру в Rn, инвариантную относительно действия g'. Наличие инвариантной меры облегчает интегрирование дифференциального уравнения; например, при п = 2 оно интегрируется в квадратурах. Действительно, из (25) следует локальная разрешимость системы уравнений
F1x-Mfv Fx=-Mf,.
Функция F(XitX2) находится отсюда простыми квадратурами. Остается заметить, что F — первый интеграл системы (23). По Эйлеру функция M называется еще интегрирующим множителем.
Теорема 13. Предположим, что система уравнений (23) с инвариантной мерой (24) имеет п—2 первых интеграла F\,... ..., Fn-2. Пусть на инвариантном множестве Afc ={x?Rn: Fs(x)=c„ l^s^n—2} функции Fu-..,Fn-2 независимы. Тогда
1) решения уравнения (23), лежащие на Mc, находятся квадратурами.
Если Lc—связная компактная компонента множества уровня и ї(х)Ф0 на Lc, то
2) Lc — гладкое многообразие, диффеоморфное двумерному тору,
3) на Lc можно подобрать угловые координаты х, у mod 2л так, чтобы в этих переменных уравнение (23) на Lc приняло следующий вид
х=к/Ф(х,у), у = ц/Ф(х,у), (26)
где )., {і = const. а Ф — гладкая положительная функция, 2л-периодическая по х и у.
Укажем основные моменты доказательства. Поскольку векторное поле f касается Afc, то дифференциальное уравнение (23) можно ограничить на Mc. Это уравнение на Mc будет иметь инвариантную меру.(см. гл. 1, п. 3.6; там же приведена явная формула для плотности инвариантной меры). Интегрируемость в квадратурах на Mc вытекает теперь из замечания Эйлера. Заключение 1 теоремы 13 (отмеченное впервые Якоби) тем самым доказано. Заключение 2 составляет известный топологический факт, что всякое связное, компактное, ориентируемое двумерное многообразие, допускающее касательное поле без особых точек, диффеоморфно двумерному тору. Заключение 3 фактически является теоремой Колмогорова [871
146 (1953 г.) о приведении дифференциальных уравнений на торе с гладкой инвариантной мерой.
Пример 9. Рассмотрим задачу С. А. Чаплыгина о качении уравновешенного, но динамически несимметричного шара по горизонтальной шероховатой плоскости (гл. 3, п. 1.2, пример 5). Движение шара описывается следующей системой уравнений в /?®=/?3{<i)}X/?3{у}:
a + u>xjfe=0, y+wxy=0; Jfe = /ш + шг»уx(uxyjr- (27>
Здесь /— тензор инерции шара, т — его масса, а —радиус. Эти уравнения имеют инвариантную меру с плотностью
M=1 /V(та2)'1 — ( Y« (! + ma?E)-iy), E = ||6iy||.
Учитывая наличие четырех независимых интегралов F.\ = <k,k>, F2=<?, у>, F3=<y,y> = l; Ft=<k, и), мы видим, что уравнения (27) интегрируются в квадратурах. Отметим, что система уравнений (27) не имеет положений равновесия на некритических множествах уровня Mc. Действительно, если у=0, то векторы о) и Y зависимы. Это, в свою очередь, влечет линейную зависимость дифференциалов dF2 и dF<.
Наиболее просто уравнения (27) интегрируются в случае, когда постоянная интеграла «площадей» F2 равна нулю. В эллиптических координатах u,v на сфере Пуассона <Y>Y* = 1 уравнения движения на уровне Mc можно привести к следующему виду:
• . VKW) • _ VpTW)
«(и-«—1Г>)ф(ц, V) ' V(Ir1-V1)O(UtV)'
ф=|/(а — и) (а — V).
Коэффициенты многочлена 5-ой степени Ps и постоянная а зависят от параметров задачи и констант первых интегралов-(детали можно найти в [19]). Переменные и, v изменяются в различных замкнутых интервалах, где полином Ръ принимает неотрицательные значения. Униформизирующая замена переменных (7) (п. 2.3), в которой вместо Ф(г) следует подставить функцию Ps(Z)IZ1, вводит угловые окординаты на Mf, в которых уравнение движения приобретает вид (26). При этом отношение Х/ц (число вращения касательного векторного поля) равно отношению вещественных периодов абелева интеграла
В отличие от уравнений (8), в задаче Чаплыгина переменные X, у не разделяются. А
Согласно предложениям 3 и 4, для почти всех наборов чисел (X, ц) дифференциальное уравнение (26) в некоторых угловых координатах х!, у' может быть приведено к /равнению
х' = к', і/' = и' (/.', ц'= CDiist). (28)
19-2
147 Предложение 8. Предположим, что X и ц рационально несоизмеримы, и пусть Ф(х, у) =2Фт„ехр i(mx+nt/). Если гладкой заменой угловых переменных х, у^х', у' систему (26) можно привести к системе (28), то
I Я! I "И ЛI ItO
В общем случае (когда разложение Фурье функции Ф содержит все гармоники) точки (А,,р.)6#2, для которых ряд (29) расходится, всюду плотны в R2. Обсуждение вопросов приводимости уравнений (26) можно найти в работе А. Н. Колмогорова [87].
