Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
<>
Я\ (A) r2 (ft) — q2(О) г, (Ф)с exp \ ctg д-rf.v = r/sin гЧ, f = const.
я/І
Поскольку правая часть этого равенства стремится к+оо при Ф-»-0 (л), то любое решение, ограниченное при (Ь-*-0 (или ф-»--*-л), линейно зависимо с решением ^ = r = rt(ft). Итак,
почти наверное q2 + r2->-ос на концах интервала (0, л). Поскольку правая часть интеграла энерпш (33) ограничена, то, очевидно, при всех значениях і справедливо неравенство e<o(0< <Л—E (е>0) .
Методом Аииеля • К.с,JVCtXTa можно решить родственную задачу о движении iv.oro •.-^чиюднего диска с острым краем по гладкому горн.»'>! .л.-п.-.м; льду. Неголономиая сиг.г, состо-
150 ит в том, что скорость точки касания диска параллельна его горизонтальному диаметру. В отличие от задачи Аппеля — Kop-тевега, здесь первые интегралы выражаются через элементарные функции и имеют простой механический смысл: сохраняются проекции кинетического момента диска, вычисленного относительно его центра, на вертикаль и на ось Oz. Для почти всех начальных условий диск никогда не упадет на лед и траектория его точки касания ограничена. Более точно, точка касания описывает некоторую замкнутую кривую, которая, в свою очередь, вращается как твердое тело вокруг некоторой точки с постоянной угловой скоростью (детали см. в работе [79]).
с) Следуя Г. К- Суслову, рассмотрим еще задачу о вращении вокруг неподвижной точки твердого тела с неинтегриру-емой связью <а, со) = 0, а — постоянный вектор. Пусть тело вращается в осесимметричном силовом поле с потенциалом U(у). Следуя методу множителей Лагранжа (гл. 1, п. 2.5), запишем уравнения движения:
Aco -L со X Aco = у X Uy -f у+®Х\=0. (34)
Используя уравнение связи <а, со) = 0, множитель Лагранжа можно найти как функцию от со и -у:
к =—<а, Л-'(ЛсоХсо)+Л-1(7ХІ/1,)>/<а, Д-'а).
Уравнения (34) всегда имеют три первых независимых интеграла:
^, = <Лсо, со>/2 + U(y), F2=(y,y>, F3= <а, со>.
Для реальных движений F2= 1, F3 = O. Таким образом, задача интегрирования уравнений (34) сводится к нахождению инвариантной меры (ее существование вовсе не очевидно) и четвертого независимого интеграла. Рассмотрим частный случай, когда а является собственным вектором оператора Л. При этом предположении фазовый поток системы (34) сохраняет «стандартную» меру в Я6 = R3{со}XЯ3{у}. Пусть тело вращается в однородном силовом поле: U{y) = (b, у>. Если <а, Ь>=0, то уравнения (34) допускают четвертый интеграл F4 = <Ла», Ь> и, следовательно, интегрируются в квадратурах. Этот случай отмечен Е. И. Харламовой в 1957 г. Укажем еще один случай интегрируемости: если силовая функция задана формулой (30), то уравнения вращения допускают четвертый интеграл — интеграл Тиссерана (см. а)).
Отметим в заключение, что в неголономной механике известно сравнительно немного точно решенных задач (практически полную информацию можно найти в книгах [19], [211, [17]). Однако в самых простых из них поведение системы может быть весьма неожиданным. Примерами могут служить уже упоминавшиеся в главе 1 (п. 2.5) конек на наклонной плоскости и однородный шар в вертикальном цилиндре.
151 Глава 5
теория возмущении интегрируемых СИСТЕМ
В природе часто встречаются системы, отличающиеся от интегрируемых малыми возмущениями. Например, задача о движении планет вокруг Солнца может рассматриваться как возмущение интегрируемой задачи о движении невзаимодействующих точек вокруг неподвижного притягивающего центра. Для изучения таких задач развиты методы, которые объединяют под общим названием — теория возмущений. Эти методы обычно просты и эффективны. Часто они позволяют описать возмущенное движение почти с такой же полнотой, как невозмущенное. Некоторые из них предложили и использовали еще Лаг-ранж и Лаплас (P. S. Laplace) в своих исследованиях вековых возмущений планет. Вопросы обоснования в теории возмущений достаточно сложны и начали рассматриваться относительно недавно. Многие из них решены далеко не полностью.
В настоящей главе рассматриваются методы теории возмущений, которые группируются вокруг принципа усреднения и идеи о разделении движения на плавный дрейф и быстрые осцилляции.
§ 1. Усреднение возмущений
1.1. Принцип усреднения. Если на интегрируемую консервативную систему наложить малое возмущение, то величины, бывшие интегралами в невозмущенной задаче, начнут медленно эволюционировать. На временах порядка 1 эволюция мала. На временах порядка 1/е, где е — малость возмущения, эволюция может быть значительной (порядка 1). Формулируемый ниже основной принцип, который называют принципом усреднения, позволяет написать замкнутые уравнения для эволюции, содержащие только плавно изменяющиеся переменные.
Будем считать, что совместные уровни однозначных интегралов невозмущенной интегрируемой системы являются торами, несущими условно-периодические движения (как в случае полной интегрируемости), и что уравнения невозмущенного движения могут быть записаны в виде
/=0, IeBczRn, (1)
(i =(0(/), Ч еТт.
Здесь /=(/[,...,/„)—набор интегралов задачи, уравнение / = Const выделяет инвариантный m-мерный тор, ф=(фь... ••• .фт)—координаты на этом торе (фазы), со (/) = (ші (/),... .... (Om(I))—частоты невозмущенного движения, В — область в Rn, где определены переменные I.
