Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
В заключение укажем некоторые качественные свойства решений системы (26), не зависящие от арифметической природы чисел X, р.. Обозначим начальные значения х, у соответственно х0, уо¦ Из теоремы 4 (в предложении несоизмеримости X и ц) вытекает, что
х==х°+ ' + ХxO' Уо). У = + t+Y(t, х0, Уо),
где
<ф> -isrjSj®^* /i^=limJ-=0-
Расстояние d между точками Т2 = {х, у mod 2л) зададим метрикой dx2+dy2.
Теорема 14 ([121). Если X и ц несоизмеримы, то
а) для аюбых е>0, Г> 0 существует т у T такое, что
I X (*, JC0, у0)\ < е, IY (т, л;0, */0)| < є, d{{je (т), у (т)), (x0, y0)} < е для всех (*о, Уо)ЬТ2\
в) если Ф(*0, Уо)#<Ф>, то функция X2(t, х0, y0) + Y2(t, хй, Уо) имеет бесконечно много нулей при t-*-оо;
с) существуют точки (х0, уо)ЬТ2, Ф(х0, i/o) = <Ф> такие, что одновременно X(t, X0, уо)^0 (<0), Y(t, х0, i/o) ^sO (^0) для всех t.
Из заключения а) вытекает, в частности, что (при несоизмеримых Лиц) эргодический фазовый поток системы (26) не обладает свойством перемешивания". Отметим, что если число вращения Х/ц аномально быстро приближается рациональными числами, то система (26) может обладать слабым перемешиванием (или, что то же самое, ее спектр непрерывен) (см. [87]).
4.2. Некоторые решенные задачи неголономной механики.
а) Покажем, что задача о качении уравновешенного динамически несимметричного шара по шероховатой плоскости
1! См. сб. «Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», 1985, 2.
148 останется интегрируемой, если частицы шара будут притягиваться этой плоскостью пропорционально расстоянию. Поскольку центр масс шара совпадает с его геометрическим центром, то потенциал можно вычислить по формуле
?/(Y) = T 5 V) = \ < Jy, у) , (30)
где 7 — единичный вектор вертикали, г — радиус-вектор частиц шара, J — тензор инерции шара относительно его центра. Силы притяжения создают вращательный момент
JV X (e<r, y)y)dm = Bl<r, y>(rXy)dm = U/Xy=z(JyXy).
Для того, чтобы получить момент сил относительно точки касания, надо добавить момент суммарной силы
eS<r, y>ydm=B(Srdm, у}у,
равный нулю из-за совпадения центра масс с геометрическим центром шара. Таким образом, уравнения качения шара можно представить в следующем виде (ср. с уравнениями (5) из п. 1.2 гл. 3):
А + (оХ^=-е(УуХу). Y+wXY = 0. (31)
Они имеют четыре независимых интеграла: Fi = (k, to)+ + e(Jy, У>,
F2=<k, У>, F3=(y,y> = l, Ft=<k, k>-<Ay, v>, где i4 = diag(i4b A2, Л3), Ai = e(J2+ma2) (J3+ma2).....
Поскольку уравнения (31) имеют инвариантную меру с плотностью (27), то, по теореме 13, они интегрируемы.
Отметим, что задача о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в осесимметричном силовом поле с потенциалом (30) тоже интегрируема. Кроме трех классических интегралов Fi, F2, F3 она обладает интегралом Fi, в котором надо положить а = 0. Интеграл F4 найден впервые Тиссераном (F. Tisserand) в 1872 году в связи с исследованием вращения небесных тел. Дело в том, что потенциал твердого тела в центральном ньютоновском силовом поле совпадает с потенциалом (30) с точностью до 0(p4/R4), где р — характерный размер твердого тела, а R — расстояние от тела до притягивающего центра. Как заметил впервые В. А. Стеклов (1902 г.), уравнения Эйлера—Пуассона с потенциалом (30) совпадают по виду с уравнениями Кирхгофа задачи о движении твердого тела в идеальной жидкости в случае Клебша (1871 г.). При этом интеграл F4 в точности соответствует интегралу, найденному Клебшем.
в) В качестве еще одного примера рассмотрим задачу о качении без проскальзования однородного диска по горизонтальной шероховатой плоскости с учетом действия силы тяжести. Эта задача решена Аппелем и Кортевегом (D. Korteweg) в
149 1899 г. Введем подвижную систему координат Охуг, где О — центр диска, ось Oz ортогональна плоскости диска, ось Ox всегда горизонтальна, ось Oy содержит точку контакта. Пусть и, V, W и р, q, г — проекции на эти оси скорости центра масс и угловой скорости вращения диска. Если а — радиус катящегося диска, то
u = —ar, и = 0, w'= ар.
Пусть т — масса, А и С — моменты инерции диска относительно осей Ox и Oz. Справедливы следующие уравнения движения (см. [21]):
(С + та2) г = та2 pq, Aq-=(Cr — Aq ctgfl) р,
где Ф —угол между осью Oz и вертикалью. Так как р = Ь, то из этой системы можно получить линейные дифференциальные уравнения, определяющие интегралы уравнений движения q = q\$) и г = г(0):
(с + та2) % ma2q, AdJL=Cr-AqcXg 0. (32)
Как отмечено Аппслем и Кортевегом, функции q(ft) и г(Ф) выражаются через гнпергеометрический ряд Гаусса. Угол О как функцию t можно найти простой квадратурой из интеграла энергии
т (и2+ V2+ W2) +A (p2+q2) + Cr2=—2mgasm Q+h, (33)
где g — ускорение силы тяжести, h — произвольная постоянная. Используя эти формулы, можно показать, что для почти всех начальных состояний (за исключением точек, лежащих на некоторой гиперповерхности в фазовом пространстве) выполнено неравенство 0<0(0<я. Этот результат объясняет удивительную способность диска катиться по плоскости, не падая. Действительно, пусть <7i(o), /"i(o)—решение линейной системы (32), ограниченное при 0-»-0 (0-»-л). Если q2(u), г2(Ь) — другое решение, то, по формуле Лиувилля,
