Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
<]Если x(t)=g'(x0) и g' — подгруппа G, то проекция M-*--+-Me переводит решениех(0 в равновесие приведенной системы. Обратно, пусть x(t) =/t'(x0)— относительное равновесие гамильтоновой системы с гамильтонианом Я и начальным условием X(O)=X0. Покажем, что h! — подгруппа в G. Пусть g* — однопараметрическая подгруппа G такая, что
JiHxsA
15-2 Поскольку G —группа симметрий, то группы Л' и gl коммутируют и поэтому X(t) =g*(*о) В силу равенства (14). >
В рассмотренном выше примере 15 траектории стационарных движений являются орбитами группы SO (2) вращений тела вокруг оси симметрии поля.
Для натуральных механических систем с снмметриями можно указать более эффективный критерий стационарности движения. Пусть (М, < , >, V) — механическая система с группой симметрий (в смысле п. 2.1): многообразие Af является пространством главного расслоения с базой N и структурной группой G.
Предложение 8. Если группа G коммутативна, то точка y?N является положением относительного равновесия с постоянной момента тогда и только тогда, когда у — критическая точка приведенного потенциала Uc : N-*-R.
Это утверждение — следствие теоремы 14 и определения относительного равновесия. Поскольку, например, любая гладкая функция на сфере имеет по меньшей мере две критические точки, то из предложения 8 вытекает
Следствие. Задача о вращении твердого тела с неподвижной точкой в любом осесимметричном силовом поле при каждом значении момента имеет не менее двух различных стационарных вращений. Количество различных стационарных движений в общем случае можно оценить, например, с помощью неравенств Морса. Однако в конкретных задачах удается, как правило, получить более точную информацию (см. п.п. 3.3—3.4).
3.2. Интегральные многообразия, области возможности движения и бифуркационные множества. Пусть (Af, со2, Я, G) — гамилътонова система с пуассоновской группой симметрий G. Поскольку гамильтониан Я является первым интегралом, то эту функцию естественно присоединить к интегралам момента P : М~+&* и рассмотреть гладкое отображение «энергии-момента*> HxP : M-*RX&*.
Определение. Бифуркационным множеством S гамильтоновой системы (Af, о2, Я, G) назовем множество точек из RxS*, над окрестностями которых отображение HxP не является локально тривиальным расслоением.
В частности, критические значения 2' отображения «энергии-момента» войдут в 2. Однако з общем случае множество 2 не исчерпывается 2'. Примером может служить бифуркационное множество задачи Кеплера, указанное в § 1 гл. 2.
Предложение 9. Критические точки отображения flXP -M-^RxS* на регулярном уровне момента совпадают с относительными равновесиями.
Это простое утверждение оказывается полезным при изучении структуры бифуркационных множеств.
16-2 Определение. При фиксированных значениях энергии Лб/? и момента сб?* множество Ihte= (HxP)'1 (А, с) назовем интегральным, многообразием гамильтоновой системы (Лі, о>2, Я, G).
Очевидно, что лишь при (А, с)62 интегральные уровни Іл, е могут не быть гладкими многообразиями. Поскольку действие группы G сохраняет функцию Я, 'то стационарная группа Oe действует на уровне Iп. с и поэтому определено фактормного-образие h,c=In,c/Gc. Если с—регулярное значение момента, то Ih, с совпадает с уровнем энергии приведенной гамильтоновой системы (Мс, и2, II). Множество In, е поэтому естественно назвать приведенным интегральным многообразием. Например» в пространственной задаче трех тел типичные многообразия /а, с семимерны, а в плоской задаче их размерность равна пяти. Поскольку над каждой связной компонентой RX$*\2 отображение HxP является расслоением, то топологический тип интегральных многообразий 7„, с может меняться только при прохождении точки через бифуркационное множество 2.
Итак, изучение исходной гамильтоновой. системы с симмет-риями сводится к исследованию отображения HxP и структуры фазовых потоков на приведенных интегральных многооб-» разиях Ih, с.
Рассмотрим более детально строение отображения «энергии-момента» для натуральной механической системы (Af, <, >„ V) с группой симметрий G; мы не будем предполагать, что действие G на Al свободное. Введем множество Л, состоящее из точек JfGAf, для которых стационарная подгруппа Gx (множество таких gZG, что g(x)=x) имеет положительную размерность. Множество Л замкнуто в М. Например, в пространственной задаче трех тел Л состоит из троек точек, лежащих на одной прямой. В плоской задаче Л сводится к единственной точке гі=г2=гз=0 (мы считаем, как обычно, что барицентр совпадает с началом системы отсчета).
Пусть / : х-Кх, vx> — отображение момента. Согласно лемме 2, для любой точки *6Af\A и любого найдется единственный вектор шс(дг), такой, что J(We)=C и <we, их> = 0 для всех Приведенным потенциалом Ue: M-*-R мы назвали
в п. 2.1 функцию — V-Kwc, we>/2.
Предложение 10. Приведенный потенциал обладает следующими свойствами:
1) Uc(X)= її;in H(v), где H(v)= (v'v)—V (X)-полная
trgy-'(c) энергия системы,
2) над Af\A множество критических точек отображения Я:
16-2 J~l(c)-*-R совпадает с а>с(П. где Г — множество критических точек приведенного потенциала Uc: MW-+R,
