Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 16 (Ли (S. Lie) —Картан (Е. Cartan)). Предположим, что точка сея* не является критическим значением отображения F и в ее окрестности ранг матрицы ||а^|| постоянен. Тогда в малой окрестности U<z.Rh точки с найдутся к независимых функций <р.:U-*-R таких, что функции Ф,=<р,° F: N-*-R, N=F~l (U) удовлетворяют следующим соотношениям:
{Фь Ф2} = - • • = {Ф2,-ь <Ы = 1, (7)
вое остальные скобки {Ф<, Ф;}=0. Число 2q равно рангу матрицы IIaiiH.
Доказательство можно найти в работе [23]. С помощью этой теоремы теперь нетрудно осуществить понижение порядка. Пусть точка C = (Си ¦ ¦., ch) удовлетворяет условиям теоремы 16. Тогда, в частности, множество уровня Me** [хШ: Фї(х)=с„ ls^ss^fc} является гладким подмногообразием в М, размерность которого равна 2п—k, где 2n=dim М. Поскольку функции Фгч+ь ..., Ф& коммутируют со всеми функциями Ф„ IsSsS^A:, то нх гамильтоновы поля касаются многообразия Me и, следовательно, определено действие коммутативной группы R1, l=k—2q на Mc, порожденное фазовыми потоками уравнений Гамильтона с гамильтонианами Ф*, s>2q. В силу функциональной независимости Ф5, группа R1 действует на Me без неподвижных точек. Если ее орбиты компактны (тогда они являются /-мерными торами), то факторпространство MeZR1=Me является гладким многообразием. Оно называется приведенным фазовым пространством. Поскольку dim Aic= (2л—к)— 1=2(п— —k-\-q), то многообразие Me всегда четномерно.
На приведенном фазовом пространстве существует естественная симплектическая структура ш2, которую можно задать,
например, с помощью невырожденной скобки Пуассона {,}. Пусть А, В: Me-*-R—гладкие функции. Их можно поднять до гладких функций М, 'В, заданных на уровне McCiM. Пусть A, В — произвольные гладкие функции на М, ограничение которых на
TWe совпадает с 'А, 'В. Положим, наконец, {А, В}=[А, В}.
Лемма 4. Скобка {,} корректно определена (не зависит от способа продолжения гладких функций с подмногообразия TWc
на все М) и является скобкой Пуассона на Mc.
Пусть 'H—ограничение функции Гамильтона H на интегральный уровень TWc. Поскольку функция 'H постоянна на орбитах группы R1, то существует гладкая функция H:MeiR1-*--*-R такая, что диаграмма
Mg-Me ft\R/н
коммутативна.
Определение. Гамильтонова система (Mct ша, Н) называется приведенной.
Теорема 17. Гладкое отображение у:Д-»-М, F (у (і))=с является движением гамильтоновой системы (М, ш2, Н) тогда и только тогда, когда композиция pr°y: A-*- Mc есть движение приведенной гамильтоновой системы (.Mc, <о2, Й).
<J Справедливость этой теоремы может быть установлена с помощью следующих соображений. Формулы (7) показывают, что функции Ф|,..., Ф* составляют часть симплектических координат в окрестности подмногообразия Mr. Точнее, в малой окрестности любой точки из Mc можно ввести симплектические координаты леї,..., хл, yi, - - -, ул так, что *і=Ф2і-і, у<=Ф2<, если и yt=*Ф<, если i>2q. Это утверждение — следствие известной «леммы о пополнении», принадлежащей Каратеодори (см. [6]). Так как функции Ф, — первые интегралы, то в переменных je, у гамильтониан имеет следующий вид: Н(у,х) =
= H(Уд+і, • •., уп, Xh-q+i----, *п). Нам осталось зафиксировать
значения циклических интегралов yq+\, . . . , Ун-q и отметить, что переменные jc„ у, (s>k—q) являются локальными координата-
16-2 ми на ЛІ,, в которых форма <о2 принимает «канонический» вид S dx,Ady3. >
s>k—g
Замечание. Поскольку k—q первых интегралов Фг,..., Фг^. Ф29+1...., Фк коммутируют, то их можно использовать для понижения порядка гамильтоновой системы по Пуанкаре. Размерность локального пространства состояний приведенной системы будет равна 2л—2 (k—q), то есть размерности Mc. Более того, в силу теоремы 16, понижение порядка по Пуанкаре и Картану локально дает один и тот же результат, однако факторизация по методу Пуанкаре может быть проведена в целом лишь при более ограничительных условиях. Д
В вырожденных случаях ранг матрицы скобок Пуассона II {Fi, Fj}|| может, конечно, падать. Понижение порядка по схеме Картана (Е. Cartan) можно осуществить и в этой ситуации, если дополнительно предположить, что интегралы Fi,...,Fft порождают конечномерную алгебру (функции Cii,: Rh-*-R линейны). Действительно, пусть задано пуассоновское действие группы G на симплектическом многообразии (Af, ш2). Рассмотрим множество МС = Р~] (с), являющееся прообразом некоторой точки с*&* при отображении момента P : М-*-&*. Если с — некритическое значение момента Р, то Mc — гладкое подмногообразие в М. Поскольку действие группы G пуассоновское, то, согласно предложению 1, элементы G переводят интегральные уровни Mc друг в друга. Пусть Gc — стационарная подгруппа точки сЬ8*: она состоит из тех gCG, для которых Adg*с=с. Группа Ge является группой Ли и она действует на Mc. Если орбиты Gc на Afc компактны, то приведенное фазовое пространство Mc=MJGc является гладким многообразием. После этого можно определить приведенную гамильтонову систему (Afc, <D2, H)t дословно повторив конструкцию понижения порядка по Картану. Связь исходной и приведенной гамильтоновых систем, снова описывается теоремой 17. Необходимые доказательства можно найти в работах Сурио (J.-M. Souriau) [194] и Марсде-на (J. Marsden), Вейнстейна (А. Weinstein) [168].
