Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
{/=-,(*. у, t), Fj(x, у, t)U={F„ Fj)=ZckljFk,
{Ft(x, у, t), К(х, у, A, i%={Ft, H-h}=??-+{F„ Н}=0.
Остается заметить, что функции Fi,..., Fn и К независимы.
Пример 1. Рассмотрим задачу о движении по прямой трех точек, притягивающихся с силой, обратно пропорциональной кубу расстояния между ними. Пусть mt — массы, Xi — координаты, a Pi=HtiXi — импульсы точек. Потенциальная энергия взаимодействия равна
Функции Fi = ZpiiJimt-^U, Fi=ZpiXi, F3=Zpi независимы и (Fll F3)=О, {F3, F3J=F3, {Fi, Fj} = 2Fi. Так как соответствующая алгебра Si разрешима, то движения, лежащие на нулевых уровнях полной энергии и импульса, можно найти в квадратурах. Эту возможность нетрудно реализовать непосредственно. Если точки имеют равные массы и коэффициенты ati (i<j) равны между собой, то уравнения движения интегрируются в квадратурах в целом (см. пример 8 гл. 4). Отметим, что в рассмотренном примере потенциал U можно заменить произвольной однородной функцией степени — 2. А
1.2. Полная интегрируемость. Пусть M — симплектическое многообразие и Fi,..., Fn — независимые функции иа М, порождающие конечномерную подалгебру алгебры Ли С" (M) (так что {Ft, Fi) =ZciikFk, c</=const). в каждой точке хШ, где функции Fi,..., Fn независимы, векторы IdFi порождают n-мерное линейное подпространство П(х) в TxM. Распределение плоскостей П(х) ин вол юти вно (если Х(х), У (л-) fell, то [X, У](х)6П). Следовательно, по теореме Фробениуса. через каждую точку хЬМ проходит максимальное интегральное who гообразие Nx распределения П. Эти многообразии могут быть
16-2 погружены в M весьма сложным образом; в частности, они не обязательно замкнуты. Если n = dimM/2, то среди интегральных многообразий распределения П есть замкнутые поверхности M1= {хЬМ: Fi(X) =fи Sc,//»=0}. Если хШ,, то Nx совпадает с одной из связных компонент Mt. В частном случае, когда функции Fu- -, Fn попарно коммутируют, почти всё M «расслоено» на замкнутые интегральные многообразия Mi.
Теорема 3. Пусть гладкие функции FFn: M-*-R находятся попарно в инволюции и dim M=2 п. Если
1) они независимы на Mh
2) гамильтоновы поля IdFt (KiKn) полны на Mft то
1) каждая связная компонента Mf днффеоморфна Px Х/?-\
2) на ThxRn~h существуют координаты <рь ..., <phmod2n, Ух,..., t/„_* такие, что в этих координатах уравнение Гамильтона X=IdFi на М/ имеет следующий вид:
^n = OW ^j==Cj, (w, c = const).
Гамильтонов у систему с каждой функцией Гамильтона Fi,.... Fn называют вполне интегрируемой.
< Укажем схему доказательства этой теоремы. Рассмотрим» однопараметрических групп g't>, t&R, являющихся фазовыми потоками п гамнльтоновых полей IdFt. В силу условия 2) значение g[' (х), XfiMj определено при всех tt. Группы gi и gj коммутируют, поскольку векторные поля IdFt и IdFj коммутируют на Mj. Следовательно, определено действие абелевой группы Rn=Vx.....U на Mf:
g' (•*)=?{' • • • g'„n (¦*). ' = .....tn).
Из условия 1) и связности Mf молено вывести, что группа Rn действует на М, свободно и транзитивно. Следовательно, Mt диффеоморфно фактормногообразию RnIT, где Г — стационарная группа действия Rn (она состоит из точек t?Rn, для которых g'x=x). Так как касательные поля IdFi независимы на M1, то Г — дискретная подгруппа в Rn, изоморфная Zk (О^А^ ^n). Таким образом, Ml^RnIZk = TkXRn'"- Равномерно меняющиеся «глобальные» координаты <p mod 2л, у линейно выражаются через tn- Все детали доказательства можно найти в [6]. и>
Замечание. Если алгебра интегралов si не коммутативна, то замкнутые инвариантные интегральные уровни Mf диф-феоморфны односвязной группе алгебры Si-, профакторизован-ной по некоторой ее дискретной подгруппе. Реализация этого общего замечания упирается в нерешенную задачу классификации групп и алгебр Ли. Д
В теории и практике вполне интегрируемых гамнльтоновых
16-2 систем наибольший интерес представляет случай, когда множество М, компактно. Тогда k = n и, следовательно, М,=*Тп. Равномерное движение по тору Tn = {<рь ..., ф„тос12я} пб закону фі = фі°+(й^ (ls^i's^n) называется условно-периодическим. Числа ©і,..., (u„ — его частоты. Тор с набором частот ©ь ... ..., w„ называется нерезонансным, если из равенства SAtiWi=O с целыми ki вытекает, что все Ati = 0. На нерезонансных торах фазовые траектории всюду плотны. Это утверждение является простым следствием следующего общего результата, принадлежащего Г. Вейлю (Н. Weyl).
Теорема 4. Пусть f : Tn-*-R — интегрируемая по Риману функция и числа wi, • • •, w„ рационально независимы. Тогда для любой точки ф°€7л предел
s
lim -iC/((u/-L-<fO)rf*
существует и равен
IiKyr
tn
Пусть, в частности, f — характеристическая функция измеримой по Жордану (С. Jordan) области D на Tn. Применяя к функции / теорему 4, получим следующее утверждение: средняя доля времени, которое фазовая траектория проводит в области D, пропорциональна мере D. Этот факт характеризует свойство равномерного распределения траекторий на нерезонансных торах. Если тор резонансный, то фазовые траектории заполняют торы меньшего числа измерений.
