Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 37

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 117 >> Следующая


\ Q = 4л =5^=0.

s*

Явные формулы понижения порядка будут указаны ниже. Л

Теория понижения порядка лагранжевых систем с очевидными изменениями переносится на неголономную механику. Для того, чтобы осуществить факторизацию по группе симметрий неголономной системы, нужно дополнительное предположение об инвариантности связей относительно действия этой грурпы. Примером может служить задача Чаплыгина о качении шара по горизонтальной плоскости (см. пример 5). Эта задача допускает группу поворотов SO (2) шара относительно вертикальной прямой, проходящей через его центр. Группа SO(2) сохраняет связи и порождающее ее поле является полем возможных скоростей. Исключение группы поворотов фактически проведено нами в примере 5 методом Пуассона.

В заключение отметим еще «проблему скрытых движений» или «проблему дальнодействия», волновавшую физиков в конце 19-го века. Предположим, что натуральная механическая система с п+1 степенями свободы движется по инерции и ее лагранжиан, представляющий только кинетическую энергию, допускает группу симметрий с полем v. Понижая порядок системы, мы видим, что функция Рауса, являющаяся лагранжианом приведенной системы с п степенями свободы, содержит слагаемое — приведенный потенциал — Uc = (wc, wc>/2 = ^/2(0, и>, не зависящее от скоростей. Это слагаемое можно интерпретировать как потенциал сил, действующих на приведенную систему. Гельмгольц, Дж. Томсон (J. J. Thomson), Герц настаивали на том, что все механические величины, проявляющиеся как «потенциальные энергии», обусловлены скрытыми «циклическими» движениями. Характерным примером является вращение симметричного волчка: поскольку вращение волчка вокруг оси симметрии заметить невозможно, то можно считать волчок не-вращающимся и странности в его поведении объяснить действием дополнительных потенциальных сил.

16-2 Так как Uc = <wt, w^l2>0, то методом Рауса можно получить только положительные потенциалы. Однако, поскольку потенциал определяется с точностью до аддитивной постоянной, то это ограничение несущественно для случая компактного пространства положений.

Теорема 15. Пусть (М, < , >, V, Q)—механическая система с замкнутой формой гироскопических сил Q. Если M компактно, то существует главное расслоение с базой M и со структурной группой симметрии P. ?<rang//2(Af, R) такое, что после понижения по Раусу при некоторой постоянной МО мента JtIi=C выполнены равенства Vc=V-Hconst, йс = й.

Это утверждение нам сообщил С. В. Болотин (см. [56]).

Если Q=Oj то в качестве расслоенного пространства можно взять прямое произведение M X S1JiHnod 2л} с метрикой (X, X ) -\-42/U(х), где <, > —риманова метрика на М. Координата Ф —циклическая; ей соответствует циклический интеграл 4iU = c. Функция Рауса Rc= (х,'х) /2 — c2U/2. При C=V2 будем иметь натуральную систему на A/xS'/S'aM с потенциалом U.

2.2. Понижение порядка (гамильтонов аспект). Пусть F : M-*-R — первый интеграл гамильтоновой системы с гамильтонианом Н.

Предложение 2. Если ^7-(2)^=0, то в некоторой окрестности точки гЄМ существуют симплектические координаты *!,..., Х„, Уи . ¦ ¦, Уп такие, что F(x, у) =ух.

Это утверждение — гамильтонов вариант торемы о выпрямлении траекторий.

В координатах х, у функция H не зависит от Таким образом, если мы зафиксируем значение F=yx = c, то система уравнений

Xk = H4, yk= — Hxk (k>2)

будет гамильтоновой системой с п—1 степенями свободы. Итак, один интеграл позволяет нам понизить размерность фазового пространства на две единицы: одна единица пропадает при фиксировании значения F=c, а вторая — за счет исключения циклической переменной Xi вдоль орбиты действия группы симметрий Это замечание можно обобщить: если гамильтонова система имеет s независимых интегралов в инволюции, то ее можно привести к системе с п—S степенями свободы. Отметим, что эффективное использование первого интеграла F для понижения порядка упирается в задачу отыскания орбит группы gf, связанную с интегрированием гамильтоновой системы с гамильтонианом F.

Если алгебра интегралов некоммутативна, то размерность гамильтоновой системы понижается по крайней мере на удвоенную максимальную размерность ее коммутативной подалгеб-

16-2 ры. Количество коммутирующих интегралов иногда можяо увеличить, рассматривая нелинейные функции первых интегралов.

Пример 12. Задача о движении точки в центральном поле имеет алгебру первых интегралов, изоморфную алгебре Ли so (3). Все ее коммутативные подалгебры одномерны. Пусть Mi — проекции кинетического момента точки на і-ую ось декартовой ортогональной системы координат. Легко проверить, что функции Mi и M2=SMi2 независимы и коммутируют. Так что эта задача оводится к исследованию гамильтон овой системы с одной степенью свободы. Д

Этот метод понижения порядка гамильтоновых систем принадлежит Пуанкаре, который применял его в различных задачах небесной механики. По существу — это гамильтоиов вариант понижения порядка по Раусу. Если алгебра интегралов некоммутативна, то метод Пуанкаре использует известные интегралы не полностью. Этот недостаток метода Пуанкаре устранил Картан (Е. Cartan), изучивший общий случай бесконечномерной алгебры Ли первых интегралов (см. [23]). Более точно, Картан рассматривает гамильтонову систему (М, и2, Н) с первыми интегралами Fu ...,Fk такими, что {fic.^j}=» =aij(Fu ..., Fh). Набор интегралов Fi,..., Fk задает естественное отображение F: M-*-Rh. В общем случае функции Oij: Rh-*-R нелинейны.
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed