Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Гамкрелидзе Р.В. -> "Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3" -> 44

Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.

Гамкрелидзе Р.В. Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 — ВИНИТИ, 1985 . — 305 c.
Скачать (прямая ссылка): sovremenproblemmat1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 117 >> Следующая


Iu h..... где /, — род отдельной ее связной компоненты,

(поскольку в рассматриваемой ситуации числа /, не превосходят трех, то путаницы не возникнет). Топология интегральных многобразий однозначно определяется структурой областей возможности движения (ее родом).

С

Рис. 23. Бифуркационная диаграмма задачи Эйлера

j

j

Рис. 24

j

16-2 Глава 4

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ И МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

§ 1. Краткий обзор различных подходов к интегрируемости гамнльтоновых систем

Дифференциальные уравнения, в том числе уравнения Гамильтона, принято разделять на интегрируемые и неинтегриру-емые. «Если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес»". В этом параграфе мы дадим краткий перечень различных подходов к интегрируемости гамильтоиовых систем, «не забывая при этом указания Пуанкаре, что система дифференциальных уравнений может быть лишь в большей или меньшей степени интегрируемой»".

1.1. Квадратуры. Интегрирование в квадратурах системы дифференциальных уравнений в Rn— это отыскание ее решений с помощью конечного числа «алгебраических» операций (включая обращение функций) и «квадратур» — вычисления интегралов известных функций. Следующее утверждение связывает интегрирование гамильтоновой системы в квадратурах с существованием достаточно большого набора ее первых интегралов.

Теорема 1. (В. В. Козлов, Н. Н. Колесников [13]). Пусть R2" — симплектическое многообразие со стандартной симплекти-ческой структурой. Предположим, что система с гамильтонианом HiR2n X /?{<}->/? имеет п первых интегралов F1, ...,Fll--R2nX

XR{t}-+R(F/+{F, Я}=0) таких, что (Fi, /^=2 СЬ= —=const. Если

1) на множестве Mf={(x, ^dR2n X R1-F1 (х, *) = /<' 1 <i<n) функции F1, ..., Fn независимы;

2) 2 ckIjfksssQ Для всех i, J= 1, ..., п;

3) алгебра Ли si линейных комбинаций 2K,F„ XfiR разрешима, то решения гамильтоновой системы X = IdH, лежащие на Mt, можно найти в квадратурах.

Следствие. Если гамильтонова система с п степенями свободы имеет п независимых интегралов в инволюции (алгебра si- коммутативна), то ее можно проинтегрировать в квадратурах.

Это утверждение было сначала доказано Буром (Е. Bour) для автономных канонических уравнений и затем обобщено Лиувиллем (J. Liouville) на неавтономный случай.

'> Дж. Биркгоф «Динамические системы».

15-1

121 Пусть функции H и F1 не зависят от времени. Тогда H — тоже первый интеграл, например, H=Fi. Теорема об интегрируемости в квадратурах справедлива, конечно, и в этом случае, причем условие {F\, Fi)= 0 можно заменить более слабым

условием {Fi, Fi) =CuFu 1

Доказательство теоремы 1 базируется на одном результате С. Ли (S. Lie).

Теорема 2. Пусть п векторных полей Xu..., Xk линейно независимы в малой области l)czRn{x), порождают разрешимую алгебру Ли относительно операции коммутирования и [Xi, X,] =XiXi. Тогда дифференциальное уравнение х=Х\(х) интегрируется в квадратурах в области U.

<\ Мы докажем это утверждение в самом простом случае, когда n=2. В общем случае доказательство аналогично (см. [126]). Уравнение X=Xi(X), хЫ) будет проинтегрировано, если нам удастся найти его первый интеграл F(x) такой, что dF(x) ФО в области U. Поскольку Хх(х)Ф0, xW, то такая функция заведомо существует (по крайней мере локально). Если Xi(F)=O, то Xi(F) — снова интеграл, так как X|(Xa(F))» =Хз(Хі(F)) +X2Xi(F) =0. Очевидно, что локально X2(F) = *=f(F), где /(•)—некоторая гладкая функция одной переменной, 0. Положим

Г*

Так как Xj(G)=O, a X2(F)=dG(X2(F))=X2(F)//(F)-I. то решение системы уравнений

существует. Разрешая эту систему относительно Fxt и Fxtt мы найдем функцию F с помощью дополнительного интегрирования. Поскольку X2(F)= 1, то dF=?0. >

Для доказательства теоремы 1 (в автономном случае) рассмотрим я гамильтоновых полей IdFl. Согласно условиям 1—2, они касаются многообразия Mf и независимы всюду на Mf. Так

как {F„ F/}= 2 с?/*, то [IdFh IdFjI = ^lCljIdFll. Следовательно, касательные поля IdFi образуют разрешимую алгебру, причем [IdH, IdFtI = KlIdH (Ki = Cli=Const). Утверждение теоремы 1 вытекает теперь из теоремы Ли.

Замечание. Теорему 2, в свою очередь, можно вывести из теоремы 1. Для этого рассмотрим я функций Fi(Xty) =

=у-Xi(x), определенных в UxRn- Если [Ar1, Xj] - ^ickijXk, то,

очевидно, [Fi, F) === ff F„. Многообразие M0 ={(jc, у):F1 =...

= Fn = O) - {(х, у) -Ii = Oі является инвариантным для гамильто-

16-2 новой системы с функцией Гамильтона Fi. Применяя автономный вариант теоремы 1 на Af0 и отождествляя M0 с U, получим заключение теоремы 2. Л

Неавтономную теорему можно вывести из автономной с помощью следующего приема. Уравнения Гамильтона

Jc=Hy', у= —Нх'\ Н = Н(х, у, t)

можно представить в виде канонической системы в расширенном пространстве переменных х, у, h, t с функцией Гамильтона K(x,y,h, t) = H(х, у, t)-h:

X=K'у, у= —К'х, h=K't, І=—К'л.

Если обозначить скобку Пуассоиа в расширенном симплектическом пространстве R2n {х, y}XR*{k, /} через {, то
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 117 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed