Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
3) 2'= {(Л, с): MUc(T)),
4) Jt(Ihx) = ljC1 (— °°> АЬ где я:ТМ-*¦ Al — проекция.
Это предложение отмечено Смейлом (S. Smale); в конкретных ситуациях оно еще раньше использовалось различными авторами. Заключение 2 уточняет предложение 9.
Определение. Множество n(Ih,c)czM называется областью возможности движения при фиксированных значениях энергии h и момента с.
Если группа G коммутативна, то п. 4) предложения 10 можно заменить на
4') я'(/л.с)сі7г'( — А], где я'-.TN N — проекция N=MiG—приведенное пространство положений, UC:N -+R.
Если M компактно, то S = S' и включение 4') можно заменить на равенство. В некомпактном случае это уже не так: контрпримером может служить пространственная задача п тел. Интересно отметить, что в плоской задаче п тел область возможности движения описывается неравенством Uc^h (предложение 7 из п. 14 гл. 1).
3.3. Бифуркационное множество в плоской задаче трех тел.
Предложение 11. Для любого заданного набора масс в плоской задаче трех тел
(1) множество критических значений 2' отображения HxI: TM-*-R3{h, с} состоит из четырех кубических кривых, заданных уравнениями Ac2=а,<0 (1^і«?4),
(2) бифуркационное множество S состоит из 2' и координатных осей Zz = Q и с=0.
<] Если U — потенциальная энергия в задаче трех тел, то приведенный потенциал Vc, очевидно, равен U+C3Iil, где/ — момент инерции точек относительно их барицентра (ср. с § 1 гл. 1). В относительном равновесии dV пропорционален dl, следовательно, три точки образуют центральную конфигурацию (а. 3.1 гл. 2). При фиксированном значении |с|^0 таких конфигураций ровно пять: три коллинеарных и две треугольных. В последнем случае треугольник обязательно равносторонний, и эти две треугольные конфигурации отличаются лишь порядком следования гравитирующих точек. Пусть ы — постоянная угловая скорость вращения центральной конфигурации. Тогда, очевидно, |с| =/|о>|. 7-/ш2/2 и
h T — U -J- U.
Поскольку все конфигурации лонного типа подобны, то можно считать / = а2/и. U'V0. Коэффициент подобия •-/, можчо найти
16-2 яз равенства 27 = U, которое является следствием тождества Лагранжа I=2T—U. Коэффициент а равен C2IIqUq и поэтому в относительном равновесии he2 = а,<0. Согласно заключению 2) предложения 10, бифуркационное множество 2 включает кривые, заданные уравнениями hc2=a, Среди пяти чисел Ctu • • •. «s по крайней мере два совпадают (они соответствуют треугольным решениям Лагранжа). В бифуркационное множество, очевидно, входят еще прямые A=O1 с=0 (как в задаче Кеплера). Как показал Смейл, множество S ие содержит никаких других точек (см. (38]). >
В работе Смейла [38] содержится информация о топологическом строении интегральных многообразий в различных связных компонентах множества Я2\2.
3.4. Бифуркационные множества и интегральные многооб-разия в задаче о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Пусть — главные моменты инерции твердого тела, хи хг, х3 — координаты центра масс относительно осей инерции. Если и — угловая скорость тела, е — единичный вертикальный вектор (заданные в подвижном пространстве), то H = <Л(о, ю>/2+е<х, е> и /=<Лш, е>, где A = =diag(Ai, A2, Аз)- Наша задача — описать бифуркационную диаграмму S в плоскости R2= (А, с} и топологическое строение приведенных интегральных многообразий Ihte. Полезно сначала рассмотреть вырожденный частный случай, когда е=0 (задача Эйлера). Положения относительных равновесий — суть критические точки приведенного потенциала Uc=C2I 12(Ае, е> на единичной сфере <е, е> = 1. Если тело несимметрично (Аі>А2>Аз), то таких точек ровно шесть: (±1,0,0), (0, ±1, О), (0,0, ±1). Им соответствуют равномерные вращения твердого тела вокруг осей инерции. Поскольку в относительном равновесии тела (о = се/<Ае, е> (см. пример 15), то энергия А и момент с связаны одним из соотношений h = c2/2A, Так как пространство положений твердого тела — группа <SO(3)—компактно, то бифуркационное множество S является объединением трех парабол. В случае динамической симметрии число парабол уменьшается; если A1=A2=A3=A, то Z состоит из единственной параболы h = c2/2A. Пусть Bhte= = {0е^AJ — область возможности движения на сфере Пуассона. Классификацию областей Bh,е и приведенных интегральных многообразий Ih, с в задаче Эйлера дает
Предложение 12. Пусть А1>Л2>А3. Тогда
(1) ЄСЛИ А < С2/2А„ ТО 5д.с=0, ~Ih,c = 0»
(2) если с2/2А1 < А < с2/2А2, то bk,c = D2\jD2, ?ftiC = 2S3,
(3) если с2/2А,<А<с2/2А3! то BlllC = D1XS1, 7Л с = S2XS',
(4) если с2/2Л3< А, то Ba,c = S2, 'Inx = SO(S)-
16-2 Выяснение топологического строения приведенных интегральных многообразий основано на следующем замечании: Ihc диф-феоморфно расслоенному пространству с базой расслоения Bh,с и слоем Si, у которого слой над каждой точкой границы дВпл отождествлен в точку.
В общем случае, когда центр масс не совпадает с точкой подвеса, задача полного описания бифуркационных множеств и интегральных многообразий существенно усложняется. Она подробно изучена в работах Я. В. Татаринова [120]. Мы приведем в качестве примера серию рисунков из работы [120], на которой показан механизм перестройки бифуркационной диаграммы, когда центр масс из общего положения в плоскости X3= = 0 переходит на ось Jti = Jt2=O. Числа на этих рисунках указывают «многозначный род» областей возможности движения на сфере Пуассона. Будем говорить, что связная обл асть Bhtc имеет род /, если Bhtc диффеоморфна сфере S2, из которой удалены I непересекающихся открытых дисков. Если область возможности движения несвязна, то присвоим ей многозначный род
