Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем в барицентрическую систему координат и сначала используем трехмерную коммутативную группу трансляций. С ее помощью размерность гамильтоновых уравнений движения понижается с 18 до 12. При этом приведенная система, как и исходная, будет обладать группой симметрий G = SO(3). Фиксируя значение кинетического момента, мы придем к уравнениям движения на девятимерном интегральном многообразии. Факторизуя его по стационарной подгруппе поворотов вокруг вектора постоянного момента, получаем искомую гамильтонову систему с восьмимерным фазовым пространством. Весь вопрос теперь заключается в том, как такое приведение осуществить в явном виде
Сначала исключим движение центра масс. Пусть г, — радиус-векторы точечных масс т» в барицентрической системе отсчета, так что 2msrs=0. Для того, чтобы с помощью этого соотношения уменьшить порядок дифференциальных уравнений движения
mt?t-V,t(l<s<3), 1/ = 2^, (9)
введем относительные радиусы-векторы I = T2- г 1, Tl = T3-S, где 1 = (тіГх-{- тгг2)/(щ+ т2) — центр масс точек тх и т2. Положим (і = Zre1W2/(Zre1 + /ге2), V = (Ztt1-^Zre2) InzItLms.
Предложение 5. Если rs(/)—движение гравнтирующих точек, то функции l(t) и її(t) удовлетворяют уравнениям
A-K V-T1=U?;,, Wb л)-Vit.„. (Ю)
Эти уравнения имеют первый интеграл
MS X 0 +V(fIXii)-ZzM^Xr,)-*.
Уравнения (10) описывают движение «фиктивных» материальных точек с массами ц, v. Предложение 5 легко обобщается на случай любого л>3. Уравнения (10) с 6 степенями свободы, разумеется, гамильтоновы.
Исключение кинетического момента («исключение узла») можно провести для уравнений (10). Однако окончательный результат проще независимо сформулировать в форме, симметричной по отношению к массам mlt т2, т3. Пусть 2 — «неизме-
15-1
113 няемая плоскость» Лапласа: она содержит барицентр и перпендикулярна постоянному кинетическому моменту с. Пусть П —плоскость, проходящая через точки ть т2, т3. Обозначим через Os- угол треугольника тхт2тг, где находится масса т{, а через А — площадь этого треугольника. Справедливы формулы
А_п Vpj+Pt-Pi 4 VlPs '
где i, /, k допускают лишь три циклические перестановки чисел 1, 2, 3, а р, — длина стороны треугольника, противоположная вершине т„-. Пусть у— угол между плоскостями П и 2; в плоском движении y=0-
Предложение 6. При фиксированном значении кинетического момента Sms (г, X г,) = с в барицентрической системе с 4 степенями свободы:
T=-Ny, у=Нг; Ps=-H0s, ps=Hps (1 < S < 3), (12) Я (Г, P1, P2, Pz, у, Pl, P2, P3)=
_ IclfJinv ^pf= / Г I *>!—¦»*] J_
4Д Z*ms VI с I sin у З I '
здесь величины Д, Oi, O2 и Оз выражаются по формулам (11) как функции рь рг.рз символ Sfijk означает сумму /mffei +
~f-/312-
Это утверждение принадлежит Ван Кампену (Е. R. van Кашреп) и Уинтнеру [158]. Доказательство основано на элементарных, но громоздких вычислениях. Выражения импульсов Г, Ps через координаты и скорости гравитирующих точек очень громоздки и обычно не используются.
Когда движение плоское, то первые два уравнения (12) сводятся к равенствам Г = у=0, » мы получаем гамильтонову систему с тремя степенями свободы.
Если с = О, то уравнения (12) являются натуральной гамильтоновой системой с тремя степенями свободы (ср. с теоремой J 3}.
16-2 § 3. Относительные равновесия и бифуркация интегральных многообразий
3.1. Относительные равновесия и приведенный потенциал.
Мы вновь возвращаемся к исследованию гамильтоновой системы (Af, to2, H) с группой симметрий G, действие которой иа пространстве состояний Af является пуассоновским. Пусть (Afc, и2, Н) — приведенная гамильтонова система в смысле п. 2.2.
Определение. Фазовые кривые гамильтоновой системы на Af с постоянной момента Pq=C,. переходящие при проекции М-*-Мс в положения равновесия приведенной гамильтоновой системы, называются относительными равновесиями или стационарными движениями.
Пример 15. Рассмотрим вращение твердого тела в осе-симметричном силовом поле. Пусть с — фиксированное значение кинетического момента тела относительно оси симметрии поля сил; уравнения движения приведенной системы можно представить в следующем виде:
Л(0= Лихо-eXV', .(Aat е) =Ct (е,е) =1,(13)
здесь V(e)—силовая функция. В положении равновесия приведенной системы, очевидно, е=Const. Следовательно, и=Xe. Из уравнения <Аа,е> = с однозначно нахоуцггся множитель Я: он равен с/(Ае,е>. Поскольку e=const, то угловая скорость © тоже постоянна. Из первого уравнения (13) получаем уравнение для нахождения относительных равновесий с моментом с:
с2 (Ае X е) + (V X е) <Ае, е>г=0, <е, е> = 1.
Этот результат впервые отмечен Штауде (О. Staude) в 1894 г. В стационарном движении (относительном равновесии) твердое тело равномерно вращается вокруг оси симметрии силового поля С угловой скоростью I (О I = \с\/(Ае, е>. д
Предложение 7. Фазовая кривая *(/) гамильтоновой системы (Af, о)2, Н) с группой симметрий G является относительным равновесием в том и только том случае, когда x(t) = =g'(*(0)). гДе St — однопараметрическая подгруппа группы G.
