Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Процедура нормализации описана ниже для более общего случая (см. доказательство теоремы 7). Нормализующее преобразование строится в виде многочлена степени L—1 по фазовым переменным. Изменение членов степени / в исходном гамильтониане не изменяет членов степени меньшей I в нормальной форме и меньшей /—1 в нормализующем преобразовании.
272 Рассматривая нормализацию при L-*-оо, приходим к понятию формальной нормальной формы, которое обсуждается в гл. 4, п. 1.3.
Для случая, когда собственные частоты удовлетворяют некоторым резонансным соотношениям, определение нормальной формы надо модифицировать. Такая же модификация целесообразна и для частот, близких к резонансным. Пусть К —подгруппа целочисленной решетки Zn.
Определение. Резонансной нормальной формой гамильтониана степени L для резонансов из К называется многочлен степени L ОТ СИМПЛЄКТИЧЄСКИХ переменных Pu Qil KOTOpHfl в полярных координатах (9) зависит от фаз <р4 только через их комбинации (k, ф), kbK.
Теорема 7 ([156]). Предположим, что собственные частоты не удовлетворяют никаким резонансным соотношениям степени L и меньше, за исключением, быть может, соотношений (k, (о) =0, №К. Тогда существует такая симплектическая замена переменных р, q*~P, Q в окрестности положения равновесия, что в новых переменных функция Гамильтона приводится к резонансной нормальной форме степени L для резонансов из К с точностью до членов степени L + 1.
<] Сделаем в системе с гамильтонианом (6) замену переменных с производящей функцией Pq+S(P, q), S = S3+ ...+St. Новый гамильтониан имеет вид
50 = <o,(/>; + QJ)/2-f ... +ffl„(Pi + Qj{)/2+3»3 + *4+ • ¦ ••
Здесь S1, <50, —формы степени I от (Р, q) и (Я, Q) соответственно. Стсрый и новый гамильтонианы связаны соотношением
H{P + dSldq. q)=3fg(P, q+dSldP).
Приравнивая здесь формы одинакового порядка по Р, q, получаем
l"z.....L-
Форма F1 определена, если известны Sv, <30v. v</ —1. В сим-плектических полярных координатах р, Ф последнее уравнение приобретает вид
UdSlIdy=SfSt-Fl.
Выберем
5,=2 *'(/*(РМ*> ®)) ехр(і (А, Ф)), kW,
где fh — коэффициенты ряда Фурье Fi. Тогда <90( имеет нужную нормальную форму. Так можно последовательно определить все S1, <30,. Возвращаясь к декартовым координатам, получаем доказываемое . t>
Пусть гамильтониан имеет резонансную нормальную фор-
25-1
273 му. Если ранг подгруппы KczZn1 определяющей возможные резонансы, равен г, то система имеет п—г независимых интегралов в инволюции, являющихся линейными комбинациями величин Pj= (Pi2+Qi2)/2 (ср. с теоремой 12 гл. 5). В частности, если возможно только одно резонансное соотношение, то система в нормальной форме интегрируема.
Резонансная нормализация сводится к процедуре исключения быстрых нерезонансных фаз Цейпеля (гл. 5, п. 2.2), если нормировать отклонения от равновесия малой величиной е и перейти к симплектическим полярным координатам.
3.2. Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы в окрестности равновесия^ при резонансе. Система с двумя степенями свободы, гамильтонианом которой является резонансная нормальная форма, интегрируема. Можно свести ее к системе с одной степенью свободы, зависящей от постоянной интеграла, как от параметра, и построить фазовые портреты. Если коэффициенты при младших членах нормальной формы находятся в общем положении, то для данного резонанса существует лишь конечное число типов фазового портрета, и эти типы различаются по младшим членам нормальной формы. Фазовые портреты качественно различаются лишь для конечного числа резонансов. Перечисление портретов дает исчерпывающую информацию о движении вблизи резонанса для систем в нормальной форме в случае общего положения. Соответственно получается значительная информация о движении для систем, младшие члены гамильтониана которых приводятся к данной нормальной форме. Ниже Дается список фазовых портретов и их бифуркаций. Из-за недостатка места мы ограничиваемся случаем, когда частоты ш\ и ш2 имеют разные знаки, как более интересным С ТОЧКИ Зрения теории УСТОЙЧИВОСТИ (если Ci)iCU2> >0, то уровень энергии Я = Л< 1 — сфера, и равновесие устойчиво). Информация, необходимая для построения этих портретов, содержится в ряде работ Алфренда (К. Т. Alfriend), Хен-рара (J. Henrard), Роэля, Шмидта (D. S. Schmidt) и др. Портреты для резонансов порядка выше 4 см. в [192].
Пусть k\, k2 — взаимно простые положительные коэффициенты резонансного соотношения. Существуют взаимно простые /1, I2 такие, что k[ I2—k2l\ = \. Перейдем в окрестности равновесия к каноническим полярным координатам р, ф (9), а затем сделаем замену переменных
Pi. Р2, фі, фг'-О, I, Ч'. X с производящей функцией
S= (?іфі-Н2ф2) G+ (/1Ф1+/2Ф2)/:
¦ф=^іфі+^2ф2. G = I2Pl-IiP2, Х=*іфі+'гф2, / = —A2pi+Aip2.
274 Так как, по предположению, гамильтониан имеет нормальную форму, то он не зависит от %•, соответственно / — интеграл задачи. Сделаем изоэнергетическую редукцию на уровне энергия H=H (см. [6]), в качестве нового времени введем фазу Получим приведенную систему с одной степенью свободы, гамильтониан которой зависит от параметра А. Ее фазовый портрет и надо исследовать. В случае общего положения портрет существенно зависит еще от одного параметра — резонансной расстройки б = Ai (1)1+A2GJ2.
