Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
1) <с, ?/'><0 в области 2„
2) <y's. V»c(l, ?> для всех ItRn и <?Є2е (с>0),
3) И<?) I=O(M) при М-Ю.
Тогда существует ео>0 такое, что если ?(-) —движение механической системы с отрицательной энергией и q(0)62Ко, ТО I >Ео при некотором />0.
Замечание. Пусть q(-)—движение с нулевой полной энергией. Если равновесие q = 0 изолировано, то (в предположениях леммы 1) точка q(t) либо покидает некоторую область I q I ^ єо за конечный промежуток времени, либо стремится к нулю при /-+-oo. д
Основная трудность в доказательстве теоремы Паламодова состоит как раз в построении нужного нам поля v.
Если U — квазиоднородная функция с показателями ai,..,a„eyV, то в качестве поля v можно взять поле Ах, где /l = diag(ai,..., a„). В полуквазиоднородном случае поле v является некоторым возмущением поля Ax (детали см. в [80]).
Замечание. В приложениях потенциал U чаще всего зависит еще от параметров. Функция общего вида, зависящая не более чем от 6 параметров, в окрестности критической точки подходящей заменой переменных приводится к квазиоднородному виду (см., например, [47]). Стедовательно, для таких потенциалов справедлива обратная теорема Лагранжа. Для практических целей это более чем достаточно, однако общий случай к этому, конечно, не сводится. Д
Доказательство теоремы 12 в случае 3 основано на другой идее: если уравнения движения имеют решение <7(0, асимптотически стремящееся к точке <7 = 0 при /-*-+00. то равновесие (q> q ) = (0,0) неустойчиво. При этом надо различать три случая: разложение потенциала начинается с квадратичных членов, с формы нечетной степени и, наконец, с четной формы степени больше двух. Первый случай разобран еще А. М. Ляпуновым: уравнение движения имеет асимптотическое решение q{t)=2xke~™, k^l, xhtRn, Ь>0. Если U = U2m+i+... ... (т> 1) и {У2ш+і=^0, то асимптотическое решение можно
288 представить в виде ряда
*>1, ц = 2/(2л-1), (16)
сходящегося при достаточно больших значениях t [82]. Если же U=U2m+ ... (т>2) и и2тф0, то ряд (16) заменяется на следующий (см. [86]):
2 *'/,ILn-O h у =O1 1,...; j <і/(т — \).
Из заключения 3 теоремы 12 можно вывести ряд следствий:
а) Пусть /:/?"-»¦/? и d/(O) = O. Топа состояние равновесия (ід, q) = (0, 0) неустойчиво либо когда U = /, либо когда U = — /.
б) Если в положении равновесия аналитический потенциал имеет локальный максимум, то равновесие неустойчиво.
в) Равновесия механической системы в потенциальном силовом поле с гармоническим потенциалом (удовлетворяющим уравнению Лапласа &U=0) неустойчивы. Частным случаем является «теорема Ирншоу» (S. Irnshaw): равновесие системы электрических зарядов в стационарном электрическом поле всегда неустойчиво. До работ [82], [86] теорема Ирншоу была доказана лишь когда характеристические числа первого приближения отличны от нуля.
Пусть на механическую систему действуют еще непотен циальные силы F(q, q)\ движение описывается уравнением Лагранжа
-я L-T-U- ОП
Определение. Силу F будем называть силой вязкого трения с полной диссипацией, если F (q, 0) = 0 и (Т +U) = = Fq <0 при q=r=0.
Положения равновесия и после добавления сил вязкого трения снова будут совпадать с критическими точками потенциала U. При этом состояния равновесия, устойчивые по теореме Лагранжа, останутся устойчивыми с учетом диссипации энергии. Более того, если потенциал — аналитическая функция, то они станут асимптотически устойчивыми.
Теорема 14 (см. [81]). Пусть точка q = 0 не является локальным минимумом функции U1 U(O)=O. Состояние равновесия (q, q.) = (0, 0) системы (17) неустойчиво, если выполнено одно из следующих условий:
а) функция U аналитична в окрестности точки q = 0, б) функция U гладкая и при некотором е>0 в области 2е= {q ¦ U(q) <0, I <71 <e} нет ее критических точек.
В аналитическом случае условие б) заведомо выполнено. t> Рассмотрим движение q(-) с отрицательной полной энер-
25-1
289 гией и q (O) Є2е. Утверждается,что за конечное время точка <7(0 покинет St. Действительно, на таком движении q (O^fcO. Следовательно, полная энергия E=T+U монотонно убывает. Если <7(0eSe для всех />0 и при этом E(t) стремится к конечному пределу при /-*•+оо, то <7 (0-0. Но при малых значениях скорости силы трения малы по сравнению с потенциальными силами, которые сообщат системе достаточно большую скорость. Л КОММЕНТАРИИ К СПИСКУ ЛИТЕРАТУРЫ
Основные принципы механики достаточно полно и подробно изложены в книгах [6], [20], [21], [39]. С генезисом основных понятий механики можно познакомиться по книге [28]. В [26] содержится оригинальное построение динамики, в которой отсутствует понятие ускоряющей силы: нскривленис траекторий вызывается лишь связями, наложенными на систему. Сборник статей [10] дает хорошее представление о развитии вариационных методов классической механики до 1950 года. В книге [23] развивается систематический подход к гамильтоновой механике, основанный на использовании интегральных инвариантов. Работа [25] содержит построение теории гамнльтоновых систем со связями.
Работы [34], [22] оказали решающее влияние на современное развитие теории дифференциальных уравнений и классической механики. В них введены новые понятия и методы, ставшие теперь классическими. Качественным аспектам теории динамических систем посвящены работы [1], [31, [7], [12], [15], [31]. [33]. [38].
