Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Перестройка фазового портрета при росте б с прохождением через нуль показана для A = 3— на рис. 78 а, для А = 4— на рис. 78 6, если /1(0) <?, и на рис. 78 в, если /1(0) >В, для k = = 5 — на рис. 78 г.
Для A^ 6 перестройка такая же, как для А = 5, только особых точек вокруг начала координат не 10, a 2k. При A^ 5 эти особые точки расположены на расстоянии порядка Уб от начала координат. Окружающие устойчивые точки «острова колебаний» имеют ширину порядка 6(*~2,/4. Следовательно, при А^5 острова занимают лишь малую долю рассматриваемой окрестности начала координат, а остальные фазовые кривые близки к окружностям.
Есть еще два резонансных случая, которые проявляются уже в квадратичных членах гамильтониана. Это случаи, когда мультипликаторы замкнутой траектории равны —1 или 1.
Если мультипликаторы равны —1, (резонанс (2, A0)), то младшие члены гамильтониана в типичном случае 4л-периоди-ческой заменой переменных приводятся к нормальной форме
H = 6qi + api/2+Dq\ а = ± 1.
Перестройка показана на рис. 79а для а=1, D>0 и на рис. 79 6 для а = 1, D<0.
Если мультипликаторы равны 1 (резонанс (1, A0)), то младшие члены гамильтониана приводятся к нормальной форме
H=6q+ap2/2+bq3, а = ± 1.
284 1
а
# А nur
S
щ 6*0
6
© 8*0
Рис. 78
Перестройка показана на рис. 80 (в предположении, что а=1, Ь>0).
Построенные фазовые портреты позволяют выяснить многие свойства исходной системы, когда ее младшие члены приводятся к соответствующей нормальной форме. Так, невырожденным равновесиям на портретах соответствуют периодические траектории полной системы, обходящие исходную периодическую траекторию k раз. Для резонанса третьего порядка такая траектория одна, она неустойчива и сливается с исходной в момент точного резонанса (6 = 0). Для резонанса порядка 5
285 а
б
Рис. 79
Рис. 80
таких траекторий две, одна устойчива, другая неустойчива, они ответвляются от исходной при прохождении через резонанс по оси б с одной определенной стороны. Для резонанса четвертого порядка, в зависимости от значений параметров, картина либо такая, как для третьего порядка, либо такая, как для порядка к^Ъ. При переходе через резонанс второго порядка (мультипликаторы —1) исходная траектория теряет или приобретает устойчивость; при этом ответвляется дважды обходящая ее периодическая траектория. Наконец, при резонансе первого порядка (мультипликаторы 1) исходная траектория исчезает, слившись с другой траекторией того же периода (или, если двигаться с другой стороны по параметру, рождаются две периодические траектории).
Большем части замкнутых кривых на фазовых портретах соответствуют двумерные инвариантные торы полной системы, несущие условно-периодические движения (согласно теории KAM).
Устойчивость или неустойчивость исходной замкнутой траектории при сформулированных условиях общности положения
286 устанавливается по нормальной форме (ср. с теоремой 8). При *=3 будет неустойчивость, если ВфО, при Л = 4 — устойчивость, если |i4(0) I > |?l>0, и неустойчивость, если 0< <|i4(0)|<?, при — устойчивость, если A (O)B=JtO. При мультипликаторах равных —1 будет устойчивость, если aD>0, и не) -тойчивость, если aD<0. При мультипликаторах, равных 1, будет неустойчивость, если аЬф0.
При переходе от нормальной формы к точной системе имеющиеся на фазовых портретах сепаратрисы, вообще говоря, расщепляются аналогично описанному в гл. 5, п. З.З.Б.
§ 5. Устойчивость равновесия в потенциальном поле
Теорема 12 (Лагранж (J. L. Lagrange)—Дирихле (P. Dirichlet)). Если в положении равновесия потенциал имеет строгий локальный минимум, то соответствующее состояние равновесия устойчиво.
<] В качестве функции Ляпунова можно взять полную механическую энергию. >
Условие теоремы Лагранжа не является необходимым для устойчивости.
Пример 3 (Пенлеве (P. Penleve) — Уинтнер).
Рассмотрим бесконечно дифференцируемый потенциал U(q) = cos q~lXexp(—q~z), <7=^0, U(O)=O. Равновесие <7 = 0 устойчиво, хотя точка <7 = 0 не является, конечно, локальным минимумом функции U (рис. 81). Д
В 1892 году А. М. Ляпунов поставил задачу об обращении теоремы Лагранжа для случая, когда коэффициенты квадратичной формы T=Zan(q)qi qj и потенциал U являются аналитическими функциями в окрестности положения равновесия. Эта задача решена пока лишь в частных случаях.
Теорема 13. Пусть положение равновесия <7 = 0 не является строгим локальным минимумом аналитического потенциала U. Состояние равновесия (q,'q ) = (0,0) неустойчиво, если выполнено одно из следующих дополнительных условий:
1) число степеней свободы л 2,
2) U является квазиоднородной или полуквазиоднородной функцией,
Рис. 81
287 3) первая нетривиальная форма разложения Маклорена функцни U не имеет в 0 локального минимума.
Случай п= 1 тривиален. Неустойчивость равновесия в случае л = 2 установлена В. П. Паламодовым [112]. Доказательство опирается на утверждение, восходящее к Н. Г. Четаеву [130].
Лемма 1 (см. [112]). Пусть точка ? = 0 не является локальным минимумом функции U. Предположим, что в области I,,= {q:U(q) <0, |<7|<є} существует гладкое векторное поле v такое, что:
