Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
26-2 267 энергию T ее значением T2 при q = 0, а потенциальную энергию U — ее квадратичной частью U2 в окрестности нуля.
Пример 1. Для одномерной системы L=a(q)q1 !< U(q), L., = Ti-U2 — (aq2 -bq2)/2, a = a(0), b = O2Uidy2 линеаризованное уравнение движения есть aq+bq = 0. ^
Рассмотрим теперь гамильтонову систему. Ее положения равновесия — критические точки функции Гамильтона. Чтобы линеаризовать гамильтонову систему около положения равновесия, достаточно заменить гамильтониан его квадратичной частью в окрестности этого равновесия.
Линеаризация гамильтоновой системы около замкнутой траектории рассмотрена в пункте 3.2.
§ 2. Нормальные формы линейных колебаний
2.1. Нормальная форма линейной лагранжевой натуральной системы. Рассмотрим динамическую систему с квадратичной функцией Лагранжа L2=T2—U2, T2^0. Ее колебания выглядят особенно просто в специальных координатах, которые называются главными или нормальными.
Теорема 1. Линейной заменой координат Q = Cq квадратичная функция Лагранжа приводится к диагональному виду
== (QI4-... +Qhl 2-(X1Q,2+... +KQn2) 1(2) а уравнения движения — соответственно, к виду
Qi = -KiQ,, і=\,...,п. (3)
Собственные числа X, являются корнями характеристического уравнения
det (? — XA) = 0, T2 = (Aq, q)i2, U2 = (Bq, q)l2.
< Пару квадратичных форм, T2 и U2, одна из которых (T2) положительно определена, можно привести к главным осям единой линейной заменой переменных. Координаты можно выбрать так, что форма T2 приведется к сумме квадратов. t>
Следствие 1. Система, совершающая линейные колебания, есть прямое произведение п линейных одномерных систем.
Для каждой одномерной системы (3) могут представиться три случая:
1) X, = (d2>0, решение Q = CiCOso)/+C2Sinto/ (колебания),
2) X1=O, решение Q = Ci+с2/ (безразличное равновесие),
3) X1 = —6*<0, решение Q=CiChkt+c2shkt (неустойчивость).
Следствие 2. Пусть одно из собственных чисел положительно: Х = и2>0. Тогда система может совершать периодическое колебание вида q(/) = (neos ю/ + C2Sinm/)?, где ? — соответствующий X собственный вектор: В? = ХЛ?.
268 Это периодическое движение называется собственным (или главным, или нормальным) колебанием, а число и — собственной (главной, нормальной) частотой.
Эти результаты справедливы и когда среди собственных чисел есть кратные: в лагранжевой натуральной системе, в отличие от общей системы дифференциальных уравнений (и даже общей гамильтоновой системы) резонансные члены вида /sinat и т. п. не возникают даже в случае кратных собственных чисел (лишь при а=0 возникают жордановы клетки порядка 2).
2.2. Теоремы Релея—Фишера—Куранта о поведении собственных частот при увеличении жесткости и наложении связи. Из двух линейных лагранжевых систем с одинаковой кинетической энергией более жесткой называется та, у которой потенциальная энергия больше.
Теорема 2. При увеличении жесткости системы, совершающей малые колебания, все собственные частоты увеличиваются.
Говорят, что лагранжева натуральная система с п—1 степенями свободы получена из системы с п степенями свободы, совершающей малые колебания, наложением линейной связи, если ее кинетическая и потенциальная энергии получаются ограничением кинетической и потенциальной энергий исходной системы на п—1-мерное подпространство.
Теорема 3. Собственные частоты i=l,..., п—1, системы со связью разделяют собственные частоты Oi исходной системы (рис. 67).
... Уп
Uj Ui U1n-I
Рис. 67 Рис. 68
2.3.Нормальные формы квадратичных гамильтонианов. Рассмотрим гамильтонову систему с квадратичной функцией Гамильтона
z = fdHidz, zeR2", H=iIi(QztZ), /-"о*').
Рассмотрим характеристическое уравнение
det (IQ-XE2n)=0.
Его корни называются собственными числами гамильтониана.
Теорема 4. Собственные числа гамильтониана на плоскости комплексного переменного А, расположены симметрично относительно координатного креста (рис. 68): если А, —собственное число, то собственными числами являются также А,, —К, —Я.
269 <] Если }. — собственное число, то
det (19. - KE2n) = det (Hi - KE,„) = О, det (/о + KE2n) = det (- IQ + х?\,у = 0 [>
Следствия. 1. Устойчивость в системе Гамильтона всегда нейтральная: если равновесие устойчиво, то вещественные части всех собственных чисел равны нулю.
2. Если имеется чисто мнимое простое собственное число, то при малом возмущении гамильтониана оно остается на мнимой оси. Аналогично вещественное простое собственное число при малом возмущении остается вещественным.
3. Если X = O — собственное число, то оно обязательно имеет четную кратность.
Согласно теореме 4, собственные числа бывают четырех типов: венисгвсчшые пары (а, —а), чисто мнимые пары (ib, —ib), четверки (±a±ib) и нулевые собственные числа.
Следующее утверждение заменяет для гамильтоновых систем теорему о приведении матрицы линейного дифференциального уравнения к жордановой форме.
Теорема 5 (Вильямсон (J. Williamson) [40]). Вещественной симплектическон заменой переменных гамильтониан приводится к сумме частичных гамильтонианов (функций от непересекающихся подмножеств сопряженных переменных), а матрица системы — соответственно к клеточному виду. Каждый частичный гамильтониан отвечает либо вещественной паре, либо мнимой паре, либо четверке собственных чисел, либо нулевому собственному числу. Частичные гамильтонианы с точностью до знака определяются жордановыми клетками оператора Ш.
