Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь сделаем изоэнергетическую редукцию (см. [6]), выбрав на уровне энергии Я = Л в качестве нового времени фазу ф (обозначать ее теперь будем t). Гамильтониан задачи примет вид F = F(z, t, ft). При ft = 0 начало координат — положение равновесия системы. Предположим, что оно невырождено (все мультипликаторы отличны от нуля; вырожденный случай рассмотрен в п. 4.3). Тогда при малых h система также имеет невырожденное равновесие. Гладкой по параметру заменой переменных можно перенести это равновесие в начало координат. Гамильтониан примет вид
F=(E(t, h)z, z)/2 + G(z, t, А), (14)
где разложение G по z начинается с членов третьего порядка малости, гамильтониан имеет период 2л по t.
Рассмотрим линеаризованную систему.
Теорема 9 (см., например, [133]). Линейная 2л-периоди-ческая по времени гамильтонова система приводится к автономному виду линейной симплектической заменой переменных. Если система не имеет вещественных отрицательных мультипликаторов, то приводящую замену переменных можно выбрать 2л-периодической по времени, а если имеет, то 4л-пери-одической. Если система гладко зависит от параметра, то и замена переменных выбирается гладкой по этому параметру.
Предположим, что все мультипликаторы линеаризованной системы лежат на единичной окружности и различны. Тогда, согласно сформулированной теореме и п. 2.2., гамильтониан (14) можно линейной 2л-периодической заменой привести к виду
4> = <'ч{РЇ+ЧЇ)/2+...+ійп{р?, + Я7,)'2 + У(р, q. t, h), (15) где разложение 4f по фазовым переменным начинается с членов 3-го порядка малости, Hf имеет период 2л по времени t.
282 4.2. Приведение системы с периодическими коэффициентами к нормальной форме.
Определение. Собственные частоты ©і..... ш, удовлетворяют резонансному соотношению порядка />0 для 2я-пери-одических систем, если существуют целые числа A0, Ai,..., А„ для которых А,й),+...+A,u),+Ao=0, |Ai| + ... + |А„| = /.
Теорема 10. (Биркгоф (22]). Предположим, что собственные частоты а>< 2я-периодической системы (15) не удовлетворяют ни одному резонансному соотношению порядка L и меньше. Тогда симплектической 2я-периодической по времени заменой переменных функция Гамильтона приводится к такой же нормальной форме Биркгофа степени L, как если бы система была автономной, с той лишь разницей, что остаточные члены степени L+1 и выше будут 2л-периодически зависеть от времени.
Процедура нормализации аналогична описанной в п. 3.1. Если система гладко зависит от параметра, то гладким по параметру выбирается и нормализующее преобразование.
Для резонансных случаев используется резонанская нормальная форма. Пусть К—подгруппа целочисленной решетки
Определение. Неавтономной резонансной нормальной формой гамильтониана степени L для резонансов из К называется многочлен степени L от симплектических переменных Pi, Qil который в полярных координатах (9) зависит от фаз <р< и времени t только через их комбинации А|ф| + ... +А,ф„-|-Ао», где (А|,..., k
п I А0)6/С.
Теорема 11. Пусть собственные частоты не удовлетворяют никаким резонансным соотношениям порядка L и меньше, за исключением, быть может, соотношений Aitoi+...+Ая<о,+
+A0=O1 где (А|.....А„ Ао)6/С. Тогда существует симплектиче-
ская 2я-периодическая замена переменных, приводящая гамильтониан к неавтономной резонансной нормальной форме степени L для резонансов из К с точностью до членов степени L+ 1.
Если ранг подгруппы К равен г, то система в нормальной форме для резонансов из К имеет п—г независимых интегралов в инволюции, являющихся линейными комбинациями величин Pi= (P'+Qi2) 12. В частности, если резонансное соотношение только одно, то система интегрируема.
4.3. Фазовые портреты систем с двумя степенями свободы около замкнутой траектории при резонансе. Колебания около замкнутой траектории в системе с двумя степенями свободы описываются периодической по времени системой с одной степенью свободы, зависящей от параметра (п. 4.1). Система, имеющая резонансную нормальную форму для такой задачи, сводится к системе с одной степенью свободы; можно строить ее фазовые портреты. Если коэффициенты при младших членах нормальной формы находятся в общем положении, то для дан- ного резонанса существует лишь конечное число типов фазового портрета, и эти типы различаются по младшим членам нормальной формы. Фазовые портреты качественно различаются лишь для конечного числа резонансов. Их список и описание бифуркаций, которые испытывают портреты при прохождении параметров системы через точный резонанс, содержатся в [59], [60] и воспроизводятся ниже.
Нормальные формы Hklkt для резонансов (A, A0) имеют в переменных р, \|3 = ф -I- kot/k + \|>о вид
H3,* = 6p + ?p3/2 cos Зчр,
Hktho =6p + pM(p)+?p*/2cosAr|>, A ^ 4.
Здесь р и ijj — сопряженные фазовые переменные, o = u) + Ao/A— резонансная расстройка, А — многочлен от р; В, \|>{> — постоянные. Нужные условия общности положения состоят в том, что ВфО, /1(0)=5^0 для k>4, |/l(0)|^=|?| для А = 4. Все коэффициенты зависят еще от параметра Л. Будем считать, что d6/dh^0, так что вместо Л можно использовать 6. При сформулированных условиях малое изменение В и коэффициентов А не приводит к бифуркациям; поэтому зависимость их от параметра можно не учитывать. Будем считать, что ?>0 и /1(0) > >0 — это не ограничивает общности.
