Современные проблемы математики Фундаментальные направления Том 3 - Гамкрелидзе Р.В.
Скачать (прямая ссылка):
Окрестность начала координат иа плоскости А, 6 разбивается на области, соответствующие разным типам фазового портрета. Эти разбиения для различных резонансов показаны на рис. 69 а—74 а, а бифуркации фазового портрета при обходе вокруг начала координат по часовой стрелке—на рис. 69 6— 74 б соответственно. Нумерация портретов соответствует нумерации областей на плоскости параметров. Непронумерованные портреты соответствуют разделяющим области крнввм, они приведены только на рис. 69—71.
Нормальные формы, для которых приведены бифуракции, имеют вид
Hkukt = Ux9l +U2P2+F (р„ p2)+Ap»./V2*'/2cos (А,ф, +А2Ф2 "Ни)-
Здесь F — многочлен от pi, р2, начинающийся с квадратичной формы F2(PbP2), в гамильтониане H2, і член F надо опустить, В И фо—постоянные. Нужные условия общности положения имеют вид ВФ0, A=Ftikuk2) ФО и, для гамильтониана Нз,и |Л|т*=ЗуЗ|Я|. Рисунки соответствуют случаю юі>0, Л>0, ?>0 (это не ограничивает общности). Рисунки приведены для следующих резонансных векторов (А|, A2): (2,1) — рис. _69, (3,1)—рис. 70, если А<.ЗУЗВ и рис. 71, если /1>ЗУЗЯ, (4,1)—рис. 72, (2,3)—рис. 73, (3,4) —рис. 74. Для резонансных векторов (1,л), бифуркации такие же, как для (1,4), для (2, п), п>5 —такие же, как для (2, 3), но пропускается область (5) на рис. 73, для (3, п), п>5 — такие же, как для 3, 4), а для (т, п) т>4, п>5 — такие же, как для (3,4),но пропускается область (2) на рис. 74. (Конечно, число особых точек каждого типа надо изменить с учетом симметрии гамильтониана). Ось 6 = 0 не является линией бифуркации. Расположение линий бифуркации относительно нее может быть другим, чем показано на рисунках.
Еще несколько замечаний с представлении информации. Чтобы фазовые портреты не имели особенностей, они изображены для А>0 в полярных координатах р2, if/Ao, а для А<0 — в полярных координатах pi, ф/Аі. Для A = O фазовый портрет на рис. 69—71 изображен и в тех и в других координатах. Можно считать, что при А>0 на портрете изображено сечение трехмерного многообразия уровня энергии плоскостью фі=0, а при
26-2
275 Рис. 70
Л<0—сечение плоскостью ?2 = 0. Положениям равновесия на фазовом портрете соответствуют периодические решения исходной системы с двумя степенями свободы", замкнутым кривым соответствуют двумерные инвариантные торы. При этом равновесиям, получающимся друг из друга поворотом на угол
" При Л = 0 равновесию в центре портрета соответствует равновесие исходной системы.
276 « t
і
Рис. 71
1 (©) ((0Gx г| Кол vo<3o 3 * ®
б S а Л Рис. 72 h
1 г (ЯЬ 1 (т ® ИГ ©
s
Рис. 73
277 I
Рис. 74
2л/Zt2 в области А>0 или 2я/?і в области Л<0, соответствует одно и то же периодическое решение, протыкающее поверхность сечения Zt2 (соответственно, ki) раз. Точно так же и для двумерных торов.
Для завершения анализа резонансов в системах с двумя степенями свободы осталось рассмотреть еще резонансы, существенные уже в квадратичных членах гамильтониана: случай кратных собственных чисел и случай нулевого собственного числа.
При кратных собственных числах в типичном случае матрица линейной гамильтоновой системы имеет две жордановы клетки второго порядка (см. п. 2.3). При собственных числах, близких к кратным, квадратичная часть гамильтониана приводится к виду (±ifc)2 из (5). Согласно [117], в этом случае члены гамильтониана до 4-го порядка включительно можно привести к следующему виду, также называемому нормальной формой:
Н = а(р\ +р\)!2+<о (pa-Piq2) +6 (q\ +q\)/2 +
-Htf +ql) \D (q] +ql) + B(p2qi-piq2) + C(p] +/?:)],
a=±l. (10)
Формальная нормальная форма — ряд по q\ -\-q), р}+р], p2qx — -Piq2- Перейдем, следуя [77], [119], к полярным координатам г, X на плоскости qv q„ и введем соответствующие импульсы Р, /:
<7, = rcosx. pi = Pcosx-/slnx/r, <7: = rsinx, /72 = PsinX+/cos Xf-В новых переменных гамильтониан (10) принимает вид
Я= ' a (Р2 + ?) +ш/ + г2 (4 +Dr2 Л-BI +С(Р» + ?)). (12)
Так как гамильтониан не зависит от угла х. то /— интеграл, а для Р, т получается система с одной степенью свободы, зависящая от двух параметров, 1 и б. Ее бифуркационная диаграмма приведена на рис. 75 для случая а=1, ?>>0 и на
278 рис. 76 для случая а=1, ?><0. Принято, что 0 —это не ограничивает общности.
а
Рис. 77
Крайние фазовые портреты на рис. 75, 76 соответствуют / = 0. Чтобы они не имели особенностей, приходится считать, что г принимает значения обоих знаков. Симметричные относи-
279 тельно оси г = 0 кривые на портретах соответствуют одним и тем же инвариантным поверхностям в фазовом пространстве системы с двумя степенями свободы. Д
Наконец, рассмотрим случай нулевого собственного числа (вырожденного равновесия). Он возникает уже в системе с одной степенью свободы; такую систему и будем рассматривать1'. Будем считать, что в линеаризованной системе нулевому собственному числу соответствует жорданова клетка второго порядка (п. 2.3). Если равновесие близко к вырожденному, то его нельзя переместить в начало координат гладкой по параметрам задачи заменой переменных. Поэтому в гамильтониане сохраняется линейная часть. Члены гамильтониана до 3-го порядка включительно приводятся к виду
